Bernoulli, Johann I an Maupertuis, Pierre Louis Moreau de (1731.12.30)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1731.12.30
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.15
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis". Signatur eigenhändig. Letztes Blatt leer

Monsieur

J'espere que cette lettre Vous trouvera retabli de Votre fievre prise sur la route de Bretagne; on gagne aisément en voyageant quelque petite maladie, mais qui passe aussi aisément sans laisser aucune mauvaise suite: Je suis veritablement faché de la peine que Vous avés eue de faire entre les accés la copie que j'avois souhaitée; mon intention n'etoit pas que Vous prissiés Vous meme cette peine, bien loin de la prendre avec tant d'incommodité; qui eut cru que dans tout Paris il ne se trouvat pas un seul scribe capable de faire une chetive copie? asseurement je m'en serois passé mille fois plutot que de Vous imposer cette charge: Mais enfin Vous l'avés voulu faire pour me temoigner combien Vous etes porté à me faire plaisir avec toute la diligence possible, j'en reconnois le prix et Vous suis infiniment obligé: Vous offrant le reciproque dans les occasions.

Je ne doutoit pas que selon votre sagacité ordinaire Vous n'apperçussiés aussi le Paralogisme de Mr. Herman commis ou il veut repondre à l'argument de Mr. Clarck pris de deux pendules qui se choquent. Je ne sai si en faisant à la campagne un Extrait du premier Volume de l'Acad. de Petersbourg Vous n'avés pas remarqué de meme un autre paralogisme beaucoup plus important que Mr. Herman a commis qui gate toute sa Piece et qui rend fausse la solution qu'il pretend donner du probleme d'un certain Offenburg; Cette piece se trouve page 210 où à l'imitation du probleme de Viviani sur la figure quarrable dans la surface hemispherique il entreprend d'y determiner des figures algebriques pour les fenetres du Dome, dont les circonferences soient absolument ou algebriquement rectifiables; Il employe pour cela les Epicycloides spheriques, qu'il croit comme les Epicycloides ou hypocycloides planes (en prennant le point decrivant sur la circonference du cercle generateur) generalement rectifiables, mais son raisonnement renferme une erreur grossiere dont il devroit etre honteux; cette erreur est à la fin de la page 215 où il dit interea vero describet $BL$ sectorem $LBl$ similem sectori $B\beta b$, ce qui est absolument faux, parceque le mouvement du cercle generateur en roulant ne se fait pas dans un meme plan, et par consequant les deux secteurs $LBl$ et $Bb$ etant sur deux plans differents ne sont pas semblables. Comme la veritable maniere de trouver les dimensions des epicycloides spheriques m'a paru asses difficile de meme que celle de leurs courbes de projection sur le plan du cercle immobile. J'ai eté curieux d'en chercher une methode, que j'ai enfin trouvée, cherchés la aussi pour voir si nous nous accordons, je mettrai la mienne par ecrit, que je Vous communiquerai si Vous la souhaittés, je trouve qu'il n'y a qu'un seul cercle dans la sphère à prendre pour le generateur, qui produise une Epicycloide algebriquement rectifiable. Mr. Clairaut devroit s'y appliquer aussi, parceque les courbes sont du genre des courbes à double courbure.

Il est certain que Mr. Herman suivant ce qu'il dit dans l'article de sa Phoronomie a cru que des corps ascendants avec des vitesses differentes reçoivent dans des tems egaux des nombres inegaux d'impulsions de la pesanteur; mais je croi que par ces impulsions il entend ici les diminutions graduelles, non pas de la vitesse mais de la force vive, lesquelles diminutions sans doute ne se mesurent pas par le tems mais par la hauteur, c. à. d. si la hauteur est divisé en Elements egaux, les decroissements de la force vive seront aussi egaux, au lieu que si le tems est divisé en elements egaux, alors ce sont les decroissements de la vitesse qui seront aussi egaux. Cependant quoi qu'il en soit Mr. Herman s'est fort mal exprimé, car Mr. Clarck a eu juste sujet d'interpretter son expression comme une negation du principe de Gallilé reçû de tout le monde, par où Mr. Herman a rendu suspecte la doctrine des forces vives, bien loin de l'avoir fortifiée. Je ne sai de quel memoire de mon fils Vous parlés, quand Vous dites que Vous l'avés lu avec grand plaisir, car il y a dans ce receuil comme aussi dans le suivant plusieurs memoires qui sont de la façon de mon fils. Est ce peutetre celui que Vous entendés, qui précede les experiences d'optiques où il s'agit du mouvement des muscles? ce seroit justement dans ce memoire là où mon fils paroit vouloir refuter ma Dissertation de motu musculorum. J'ai lû, Monsieur, Votre solution du Probleme de determiner la distance du sommet des lumieres boreales à l'observateur, il n'y a rien à redire contre votre solution; elle est bonne et belle, et avec cela tres simple. Vous avés parfaittement dechiffré la formule que donne Mr. Meyer: Il ne faut plus douter un moment, qu'il devoit dire cosinus, au lieu de sinus elevationis poli, ou bien dire, sinus elevationis aequatoris. Mr. Meyer a aussi oublié d'expliquer sa lettre $r$, mais on voit bien par Votre solution, que son $r$ est le meme que le Votre. Outre cela il semble qu'il devoit dire cosinus au lieu de sinus dimidiae amplitudinis crurum $=g$; Car l'amplitude des jambes $CD$, $Cd$ seroit l'angle $DCd$, et sa moitié l'angle $DCK$, or ce n'est pas cet angle $DCK$ mais son complement $CDK$ dont le sinus $=g$. Je remarque dans votre Denomination des lignes une petite inadvertence en ce que $P$ etant nommé le pole de la terre, il ne falloit pas nommer $PD=c$; Car dans la suite de votre discours j'ai compris que par $c$ Vous entendés la plus petite distance du point $D$ à la surface de la terre, c. à. d. la ligne $TD$ en mettant $T$ à l'intersection où la droite $VD$ passe par la surface de la terre, or $PD$ seroit plus grande que $TD$, car le pole $P$ est en meme tems le sommet d'un cone droit dont la base est le cercle lumineux, et partant $PD$ en seroit un coté qui insisteroit obliquement à la surface de la terre. Je remarque au reste qu'en poussant Votre solution Vous serés en etat de determiner la grandeur absolue du cercle lumineux entier et la distance de son centre (que je nomme $O$) au Centre de la terre $V$, c. à. d. la longueur $VO$; voici comment: 1.^o Les 3 angles du triangle $CEK$ etant donnés et le coté $CE$ connu par le calcul; on en trouve donc $EK$ et $CK$. Et dans le triangle rectangle $CKD$ on a le coté $CK$ et l'angle $KCD$ avec son complement $KDC$; on en trouve donc $KD$; Or ${\frac {KD^{2}}{KE}}$ donne $Ke$ ainsi prennant la somme $EK+Ke$, Vous aurés le diametre entier $Ee$. 2.^de Dans le triangle $ECV$ on connoit les deux cotés $VC$ et $EC$ et l'angle compris $ECV$ composé de $ECK$ et de l'angle droit $KCV$, d'où on trouvera le coté $VE$: ainsi le triangle rectangle $EVO$, où l'hypothenuse $EV$ et le coté $EO$ sont connus, donnera aussi l'autre coté $VO$, du quel si on retranche le rayon de la terre $VP$, on aura $PO$ pour la distance cherchée du centre $O$ à la surface de la Terre.

Vous representés le cercle lumineux comme ayant son centre $O$ hors la Terre, mais je crois que le plus souvent ce Centre sera au dedans de la terre, auquel cas $VO$ seroit plus petit que le rayon $VP$, par consequent pour avoir $PO$ il faudroit prendre $VP-VO$. En effet s'il est vrai ce que dit Mr. Meyer que les lumieres boreales s'engendrent dans la region des Nuées puisque ces lumieres peuvent eclairer à ce qu'il pense la surface inferieure des nues pour produire par la reflexion les verges lumineuses qui paroissent monter verticalement, il faudroit que le cercle lumineux $EDe$ ou plutot sa circonference fut fort proche de la terre, car je crois que les plus hautes nuées ne surpasseront pas la hauteur de quelques lieues. Cependant je ne sai comment accorder le systeme de Mr. Meyer avec cette fameuse Aurore Boreale qui parut presque dans toute l'Europe le 20. 8.^bre 1726, car elle fut vüe en meme tems à Madrit et à Petersbourg ce qui m'avoit occasioné de faire le calcul trigonometrique pour determiner combien haute doit avoir eté pour le moins cette lumiere là, afin d'etre vüe à la fois à Madrit et Petersb. j'ecrivis alors à Mr. de Mairan le resultat de mon Calcul, qui alloit si je m'en souviens à une hauteur de plus de 1200 lieües de France; la conclusion que j'en avois tirée, etoit de dire que la matiere de cette aurore boreale devoit etre prodigieusement plus haute que la region des meteores ordinaires. Quant au reste la theorie de Mr. Meyer me paroit assés bien imaginée, mais pourroit-il alleguer quelque raison physique, pourquoi la matiere lumineuse du Cercle $EDe$ est disposée egalement autour de l'axe de la Terre? seroit ce peutetre le mouvement diurne de la terre et de son atmosphere, capable de produire cette regularité dans la situation de la lumiere parallele à l'equateur? Si cela etoit bien averé voilà un nouvel argument pour le mouvement (au moins pour le diurne) de la Terre.

Je conviens toujours, Monsieur, que Votre maniere d'integrer les equations differentielles du 2.^d degré a toutes les apparences de beauté et singularité non obstant la restriction que je Vous ai marqué dans ma derniere; il est vrai aussi que cette maniere peut servir à construire avec une grande facilité les integrales de cette forme ${\frac {(({\overline {mm-m}}a)y^{m}+({\overline {nn-n}}b)y^{n}+({\overline {pp-p}}c)y^{p}+{\textrm {etc.}})dy}{yy+(may^{m}+nby^{n}+pcy^{p}+{\textrm {etc.}})^{2}}}$ par l'amplitude des courbes dont l'abscisse etant $y$, l'ordonnée seroit $ay^{m}+by^{n}+cy^{p}+{\textrm {etc.}}$ en se servant pour l'angle de contingence de la formule ${\frac {dPddQ-dQddP}{dP^{2}+dQ^{2}}}$, où il n'y a rien de constant et où $P$ est $y$, et $Q$ $ay^{m}+by^{n}+{\textrm {etc.}}$ Mais si on examine de près cette forme, on peut la construire avec une beaucoup plus grande facilité et plus generalement sans avoir besoin ni des courbes et de leurs amplitudes ni de la formule pour l'angle de contingence; voici comment: supposé $z$ etre une fonction quelconque de $y$, il est clair que l'integrale de cette expression ${\frac {dz}{1+zz}}$ se construit par un arc de cercle, dont le rayon $=1$ et la tangente $=z$; Pour reduire à cette expression generale Votre forme, qui n'en est qu'un cas particulier, divisés le numerateur et le denominateur par $yy$, elle se changera en celleci ${\frac {(({\overline {mm-m}}a)y^{m-2}+({\overline {nn-n}}b)y^{n-2}+({\overline {pp-p}}c)y^{p-2}+{\textrm {etc.}})dy}{1+(may^{m-1}+nby^{n-1}+pcy^{p-1}+{\textrm {etc.}})^{2}}}$ où il est visible que prenant pour la fonction de $y$ celleci $may^{m-1}+nby^{n-1}+pcy^{p-1}{\textrm {etc.}}$ et la faisant egale à $z$ Vous aurés le numerateur $(({\overline {mm-m}}a)y^{m-2}+({\overline {nn-n}}b)y^{n-2}+{\textrm {etc.}})xdy=dz$; et par consequent toute Votre forme ${\frac {(({\overline {mm-m}}a)y^{m-2}+{\textrm {etc.}})dy}{1+(may^{m-1}+{\textrm {etc.}})^{2}}}=$à cette simple expression ${\frac {dz}{1+zz}}$ dont l'integrale se construit, comme je l'ai dit, par un arc de cercle dont le rayon $=1$, et la tangente $=z=$$(may^{m-1}+nby^{n-1}+{\textrm {etc.}})$. De cette maniere je construirais les integrales de mille autres formes plus composées que la Votre et qui paroitroient plus surprenantes. Je pourrois meme en inventer d'autres dont les integrales dependroient de la Quadrature de l'hyperbole ou des logarithmes en prenant p. ex. cette expression generale ${\frac {dz}{1-zz}}$ où $z$ signifie une fonction quelconque de $y$.

Puisque Vous n'avés jamais etudié l'affaire de la propagation du son, qui est pourtant des plus curieuses mais la moins bien expliquée chès les auteurs, nous la reserverons jusqu'à votre retour dans nos Quartiers si jamais l'envie Vous prend de nous honorer encore d'une visite, en quelle occasion nous pourrons nous entretenir sur le Probleme des Cometes dont j'aimerois bien mieux apprandre de Vous l'expliquation de ce qu'en dit Newton, que de m'appliquer à l'etudier dans Newton meme; car je Vous avoue franchement que son obscurité ordinaire me rebutte, et que quand je suis relegué à lire quelque chose dans cet auteur, je n'en suis pas moins effrayé, que si on venoit à me condamner aux Galléres. Comme nous sommes sur le bord de la vieille année et pour rentrer dans la nouvelle permettés moi mon chér Monsieur de Vous embrasser de tout mon coeur. Vous souhaittent mille et mille Benedictions de corps et d'ame avec une longue suite d'années pleines de santé et de toutes sortes de satisfactions les plus souhaittables. C'en sera une des plus sensibles pour moi si je puis m'asseurer de la continuelle perseverance de Votre amitié et affection et si je puis Vous montrer en toutes occasions que je suis reellement et avec une tres sincére estime Votre etc. J. Bern.

Basle le penultieme de 1731

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Fussnoten

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