Clairaut, Alexis Claude an Bernoulli, Johann I (1733.01.06)

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Autor	Clairaut, Alexis Claude, 1713-1765
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1733.01.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 684:S.739-742
Fussnote	Der Brief trägt am Kopf das Originaldatum: "a Paris, ce 29. Nov. 1732". Hingegen ist das P.S. mit "A paris, ce 6. janv. 1733" datiert. Der Brief wurde also im November 1732 geschrieben, aber - wie der Autor ausdrücklich vermerkt - erst später, d.h. im Januar 1733 vollendet und abgesandt.

Monsieur

J'ai eté extremement flatté de l'obligeante lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire, et j'y aurois repondu plutost si je n'avois eté à la campagne dans le tems qu'elle arriva à Paris. Je suis bien faché que la cause qui vous a empeché de m'ecrire plutôt soit une fluxion de poitrine car une santé aussi precieuse que la votre pour tous les geometres ne peut pas manquer de m'interesser beaucoup en particulier et je puis vous assurer que j'ai une vive douleur de ce que cette saison ci vous cause tant d'incommodité et cela encore plus par la part que je prens en votre santé que parce que c'est la raison qui m'a privé de recevoir de vos leçons ces vacances.

Je vous suis bien obligé d'avoir eu la bonté d'examiner mes solutions et de m'avoir donné vos avis. J'en ai profité avec bien du plaisir pour ce qui est des fautes de calcul que j'avois faite dans mes deux problemes, ce sont des etourderies qui m'arrivent souvent parce qu'en transcrivant j'ai la mauvaise coutume de ne point regarder mon brouillon et de les ecrire de memoire sans y faire autrement reflexion, mais je tacherai de m'en corriger.

A l'egard de votre autre solution du probleme de la ligne la plus courte, j'ose vous assurer que j'en avois trouvé une solution à la Campagne dans laquelle j'avois employé cette consideration du plan qui passe par trois points infiniment proches et qui coupe perpendiculairement la surface courbe et je prens la liberté de vous l'envoyer.

Je suis arrivé de deux façons à cette consideration, la premiere, en regarda[nt] la ligne la plus courte comme celle qui se detourne le moins et qui est la moins courbée et pour cela je prenois un petit coté sur une surface courbe que je prenois pour un de ceux de la ligne la plus courte et pour trouver celu[i] qui le suivoit je remarquois que c'etoit de toutes les petites droites prises su[r] la surface courbe qui partent de l'extremité du 1^er coté celle qui fait le plus petit angle avec le prolongement de ce premier coté: Or pour avoir cette petite droite il est clair qu'il faut que le plan qui passe par le prolongement du 1^er coté et par le second c'est à dire le plan de l'angle de contingence soit perpendiculaire à la surface courbe.

Aprés avoir fait ce raisonnement je n'en fus pas absolument sur, je craignis d'avoir changé la nature du probleme, je pris la chose d'une autre façon, mais qui me mena au meme resultat. Là voici elle tient un peu plus de la consideration des maximis.

Soient $AN$, $an$, $\alpha \nu$ trois tranches paralleles infiniment proches de la surface courbe [Figur] et soient $N$ et $\nu$ deux points de la ligne la plus courte, l'un sur la premiere et l'autre sur la 3^eme. Je veux trouver celui qui est sur la tranche $an$ c'est à dire la position des petits cotés $Nn$, $n\nu$. Je dis que c'est celui qui doit donner l'angle $Nn\nu$ le plus grand qui soit posible, ou les angles $n\nu N$, $nN\nu$ les plus petits ou simplement l'angle $n\nu N$ le plus petit et pour cela il faut que le plan $Nn\nu$ qui est celui de l'angle de contingence soit perpendiculaire à la tranche $an\alpha \nu$ c'est à dire à la surface courbe. Pour mettre ces considerations en pratique j'avois premierement cherché la perpendiculaire d'une courbe à double courbure qui fut dans le plan de l'angle de contingence et celle de la surface courbe au meme point et je les avois egalées. Voici comme j'avois trouvé ces perpendiculaires.

Soit $NM$, $MP$, $AP$, $nm$, $mp$; $Ap$, $\nu \mu$, $\mu \pi$, $A\pi$ les coordonnées de la courbe à double courbure à trois points infiniment proches $N$, $n$, $\nu$; $Nn$, $n\nu$ les deux petits cotés de cette courbe, $NH$ le prolongement de $Nn$ pris egal à $n\nu$ ce qui fait qu'en tirant $H\nu$ prolongée jusqu'en $T$ où elle rencontre le plan de la base, cette ligne est la perpendiculaire cherchée de la courbe à double courbure dans le plan de l'angle de contingence. Soit abbaissé ensuite $HL$ perpendiculaire au plan de la base et en meme tems à $Mm$ prolongée en $L$ et du point $L$ où cette perpendiculaire rencontre le plan de la base, soit abbaissé $LF$ perpendiculaire à $AP$. Soit mené ensuite $NS$ parallele à $Mm$ et $ns$ parallele à $m\mu$, $M\beta$, $mK$, $\mu D$ et $TQ$ paralleles à $AP$, tiré $\mu L$ et mené $\nu V$ et $sI$ qui lui soient paralleles, tiré ensuite $nI$ qui se trouvera parallele à $mL$. Cela fait on nommera $AP$ $x$, $PM$ $y$, $MN$ $z$, $Pp$ $dx$, $m\beta$ $dy$, $ns$ $dz$, $Nn$ $ds$, $P\pi$ $dx+ddx$, $K\mu$ $dy+ddy$, $s\nu$ $dz+ddz$, $n\nu$ $ds+dds$; les triangles semblables $HnI$, $NnS$ et $mLR$, $Mm\beta$ donneront $ds.dz::ds+dds.{\frac {dzds+dzdds}{ds}}=HI$ et $ds.dy::ds+dds.{\frac {dyds+dydds}{ds}}=LR$ retranchant presentement $VI=\nu s$ de $HI$ et $RD=\mu K$ de $LR$ on aura $HV={\frac {dzdds-dsddz}{ds}}$ et $LD={\frac {dydds-dsddy}{ds}}$. Si l'on considere presentement la figure on verra par des triangles semblables que l'on peut aisement imaginer pour ne pas embrouiller la figure, que $HV.LD::HL.LQ$ c'est à dire en termes algebriques substituant $MN$ à la place de $HL$ qui n'en differe qu'infiniment peu on aura ${\frac {dzdds-dsddz}{ds}}.{\frac {dydds-dsddy}{ds}}::z.{\frac {zdydds-zdsddy}{dzdds-dsddz}}$. On auroit de meme si l'on vouloit la valeur de $QT$. Mais il suffit d'avoir la valeur de $LQ$ pour resoudre le probleme car on n'a plus qu'à chercher une autre valeur de $LQ$ en supposant que $HT$ est perpendiculaire à la surface courbe et l'on aura l'equation de la ligne la plus courte. Pour la trouver cette valeur il faut remarquer doit etre la sous perpendiculaire de la courbe qui sert de tranche à la surface courbe dans le plan [...] comme je l'ai enseigné dans les Recher. sur les Courb. à do. Courb. c'est à dire que sa valeu[r] en prenant la tranche $HLDF$ pour sa tranche $NMP$, $-{\frac {zdz}{dy}}$ [je mets $-{\frac {zdz}{dy}}$ par ce que cette sous perpendiculaire est dans le sens opposé à celui où elle devroit etre.] supposant qu'on a pris $dz$ en supposant $x$ constant ou bien en mettant pour $dz$ $dy\varphi xy$, ${\frac {-zdy\varphi xy}{dy}}=-z\varphi xy$ qu'il faut donc egaler à l'autre valeur de $LQ$ ce qui donnera l'equation ${\frac {dydds-dsddy}{dzdds-dsddz}}=-\varphi xy$ d'où l'on tire en nommant $K$, $\varphi xy$, ${\frac {dds}{ds}}={\frac {ddy+Kddz}{dy+Kdz}}$, qui est la meme equation generale que j'avois deja trouvé des lignes les plus courtes etc. Au reste comme rien n'est plus capable d'instruire que de voir aprés avoir resol[u] un probleme, la solution d'un grand Maitre, je vous demande la permission de demander la Communication de la votre à M^r de Maupertuis aussi bien que de vos autres leçons que j'etudierai avec l'ardeur de quelqu'un qui vous estime infiniment et qui est avec un attachement respectueux Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Clairaut.

à Paris ce 29 nov. 1732.

Je vous fais excuse d'avoir gardé cette lettre si longtems avant de vous l'envoyer mais c'est que j'ai [mis] du tems à reflechir sur un point du probleme, et de plus j'ai eu de tres grands chagrins car je viens de perdre mon frere que j'amois bien tendrement.

à paris ce 6 janv. 1733

A Monsieur

Monsieur Bernoulli celebre

Professeur de Mathematiques, et des

Academies Royalles des Sçiences de

France, d'Angleterre etc.

à Basle

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Fussnoten

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