Maupertuis, Pierre Louis Moreau de an Bernoulli, Johann I (1734.02.17)

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Autor	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1734.02.17
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.35*
Fussnote	Siegel

Monsieur

Vos lettres qui me font toujours beaucoup de plaisir, ne m'en ont jamais tant fait que la derniere parce qu'elle m'a appris que vous etiés delivré de la Goutte; il faut esperer que la longueur de l'Accez vous en a delivré pour longtems.

Je verray exprés m. Deucher pour luy proposer de se charger de vos livres, car pour m. d'Onsenbray je ne m'adresseray jamais à luy pour rien; m.^rs vos fils vous auront raconté son inpolitesse, ou plutost son inpertinence. Il presenta l'autrejour à l'Acad.^ie une machine de la facon qui me dona occasion d'en prendre une petite vangeance, car c'est un home assez maladroit à la deffensive. Peutetre trouveray je quelque jour quelque occasion encor meilleure; Dieu l'ameine, je ne la laisseray pas echaper. Je crois bien que tous les chevaux de la poste ne sont chargés depuis longtems que d'Aurores Boreales et je ne m'etone pas que m. de Meyran n'ait peu vous envoyer vos autres livres. Il est bien charmé des éloges que vous et m. votre fils avés donné à cet ouvrage.

Je ne me suis point trompé quand j'ay parlé du Parallele; m. Cassini l'automne passé a eté mesurer quelques degrés en longitude depuis Paris vers S.^t Malo et de sa mesure resulteroit encor que la Terre seroit allongée mais je crois qu'il manque à tout cela bien des choses pour pouvoir rien asseurer. Nos Astronomes s'ils vont à l'equateur n'y iront pas sitost. Nos escadres ont autre chose à faire que des observations Astronomiques.

Vous avés sans doute monsieur oui parler soit à moy soit à m.^rs vos fils de m. Fontaine c'est un de nos Academiciens nouvellement receu. Il leut à l'Acad.^ie il y a quelque tems une solution de votre probleme des Tautochrones pour l'hypothese de la resistance proportionelle au quarré de la vitesse. Il a trouvé depuis la solution generale. Et trouve qu'aprés les cas connus, de la resistance nulle, uniforme, come la vitesse, comme le quarré de la vitesse, il n'y a plus d'hypothese de resistance proportionelle à aucunne puissance de la vitesse, qui ait des Tautochrones. C'est selon moy une fort belle chose que d'avoir demontré cette impossibilité. Il a trouvé deplus que dans l'hypothese de la resistance comme le quarré plus la racine, il y a une Tautochrone qui est encor la meme que dans l'hypothese du quarré, dans la quelle vous avés resolu le probl. Tout cela est tres beau, s'il n'y a point de Paralogisme; je n'ay point examiné sa solution. C'est un home qui a beaucoup d'esprit mais qui pourroit peutetre se tromper. Il nous a tenu du moins quelque fois des propos à m.^r votre fils et à moy qui scandaliserent beaucoup m.^r le professeur.

Je suis tombé moy indigne sur une equation qui donne bien sur les Tautochrones, ce qu'elle doit doner dans les cas connus.

Je cherchois d'abord quelle doit etre la force qui tire un corps vers $C$[Figur] le long d'une droitte dans un milieu resistant comme $v^{k}$, afin qu'il tombe isochronement d'où qu'il comence à tomber; et nommant la force $\phi$, la resistance $R$ et $CP=z$ j'ay $(\phi -R)dz=-vdv$ ou $vv=2\int Rdz-\phi dz$, $v=(2\int Rdz-\phi dz)^{\frac {1}{2}}$, ${\frac {v^{k}}{n}}={\frac {1}{n}}(2\int Rdz-\phi dz)^{\frac {k}{2}}$. J'ay maintenant pour l'isochronisme $\phi -{\frac {1}{n}}(2\int Rdz-\phi dz)^{\frac {k}{2}}=qz$, ou $2\int Rdz-\phi dz=n^{\frac {2}{k}}(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$ ou, differentiant, $2Rdz-2\phi dz=$$n^{\frac {2}{k}}d(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$ou $R=\phi +{\frac {n^{\frac {2}{k}}}{2dz}}d(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$.

Je dis donc, si la resistance est representée par cette quantité, la force doit etre representée par $\phi$. Si dans un tems donné, $\phi$ fait parcourir un espace $l$, il faut que dans le mesme tems la resistance empeche, ou fasse parcourir en sens contraire un espace $m$, le raport de $l$ à $m$ etant constant. J'ay donc $l:m::\phi :\phi +{\frac {n^{\frac {2}{k}}}{2dz}}d(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$ ou $m\phi =\phi +{\frac {n^{\frac {2}{k}}}{2dz}}d(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$ ou (mettant $\pm m$ pour $2m-2$), $\pm m\phi dz=n^{\frac {2}{k}}d(\phi -qz)^{\frac {2}{k}}$. Cette equation donne la relation entre $\phi$ et $z$.

Pour appliquer cela à une courbe dont l'arc est $s$ et l'abscisse $x$, on a $z=s$, et $\phi ={\frac {pdx}{ds}}$, et $\pm mpdx=n^{\frac {2}{k}}d({\frac {pdx}{ds}}-pqs)^{\frac {2}{k}}$ ou $\pm mx+A=n^{\frac {2}{k}}({\frac {dx-qsds}{ds}})^{\frac {2}{k}}$.

Si $n=\infty$, on n'a jamais que la cycloide, comme il doit etre.

Si $k=0$, on a $(mx+A)^{0}=n^{2}({\frac {dx-qsds}{ds}})^{2}$ ou $1=n({\frac {dx-qsds}{ds}})$ qui est à la Cycloide.

Si $k=1$, l'equation contient encor la cycloide.

Enfin si $k=2$, l'equation devient $\pm mxds+Ads=ndx-nqsds$, ou $\pm mxds=ndx-nqsds$ qui est la mesme que la vostre.

Vous m'avouerés que cette equation est capable d'induire en erreur par toutes ces convenances. Dittes moy je vous prie ce que vous pensés de tout cela.

Vous m'avés autrefois permis de traduire et d'imprimer parmy nos memoires sous votre nom votre ecrit sur les courbes algebriques et rectifiables sur la surface spherique. Dans ce tems là vous etiés retenu sur vos epicycloides spheriques par consideration pour m. Herman; maintenant qu'il n'est plus, voulés vous que je joigne ces deux pieces. Cela me paroit d'autant plus convenable que quelques uns de nos m.^rs (Nicole et Clairaut) ont donné des memoires sur ces epicycloides, qu'on va imprimer. J'attends vos ordres exprés sur cela.

Je suis avec l'attachement le plus respectueux Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Maupertuis

De Paris Merc. 17 Fevr. 1734.

A Monsieur

Monsieur Bernoulli professeur de

Mathematiques Des Academyes

de France, d'Angleterre etc.

à Basle

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Fussnoten

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