Hermann, Jacob an Bernoulli, Johann I (1710.12.06)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Hermann, Jacob, 1678-1733
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Padua
Datum	1710.12.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.20*
Fussnote	1 Blättchen (6 x 15 cm) mit 2 nummerierten Figuren separat beigelegt

Viro Excellentissimo et Celeberrimo

Johanni Bernoulli.

S. P. D.

Jacobus Hermannus.

Patavii die 6. Dec. 1710.

Ex rhaetico itinere mihi domum reduci, redditae nuper sunt, Vir Celeberr. humanissimae Tuae litterae quibus adjecta erat descriptio Barometri a Te excogitati quo aeris mutationes sensibilius quam ordinariis baroscopiis dignosci queant, pro qua et aliis quae eadem epistola circa inversum Problema Virium Centralium mecum communicare dignatus es, gratias ago maximas. Descriptionem illam opusculo meo de fluidis inseram ne pereat, cum mihi contrarium non jubeas; parum sollicitus eorum quae Hirius atque Maraldus contra inventum Tuum quod Cassino vendicatum mallent, adduxerint; quoniam obstacula illa quae Cassino effectum sui, si diis placet, inventi sufflaminasse referunt, superari posse non dubitem in Tuo iis mediis quae in sequente ad Cl. Varignonium epistola clare proposuisti, cum in Belgio barometrum Tuae inventionis cum successu paratum sit. Laetor postea Miscellanea Berolinensia tandem prodiisse et magis adhuc gaudeo nonnulla in iis circa theoriam Tuam motus reptorii repertum iri. Gratum etiam mihi fecisti quod cogitata Tua super analysin meam inversi problematis Virium Centralium in speciali hypothesi harum virium quadratis distantiarum reciproce proportionalium aperire voluisti. Videtur Tibi solutio mea ex consilio ad quaesitum accommodata, quod quidem non miror cum Tibi fundamentum solutionis nondum expresserim. Sed scias nunc velim me ex suppositione $ax=ty$ didicisse quod formula mea, ut feci, disponenda et quod ex iis praecise quantitatibus quas mihi recense[r]es integralia sumenda sint. Sed quid pluribus? en Tibi totum processum calculi; aequatio diff[erentia]lis 2.^di gradus resolvenda haec erat $-{\frac {addx{\sqrt {xx+yy}}}{x}}={\overline {ydx-xdy}}^{2}\times {\frac {1}{xx+yy}}$ quae factis substitutionibus ope $ax=ty$, mutatur in $-{\frac {addx{\sqrt {aa+tt}}}{t}}={\frac {yydt^{2}}{aa+tt}}$ et $ydx-xdy={\frac {yydt}{a}}$ = const. unde $-addx={\frac {yytdt^{2}}{{\overline {aa+tt}}{\sqrt {aa+tt}}}}=a\times {\frac {yydt}{a}}\times {\frac {tdt}{{\overline {aa+tt}}{\sqrt {aa+tt}}}}$; unde cum ${\frac {yydt}{a}}$ constans sit, liquet sponte sua absque ulla accomodatione, ad quaesitum, aequationem integrabilem esse, eritque $-dx={\frac {yydt}{a}}\times -{\frac {1}{\sqrt {aa+tt}}}$. Hic libenter fateor me festinanter nimis quantitatem constantem integrali ipsius $-ddx$, adjungere omisisse, idque paulo post observans, quam meas ad Te dedissem, metuebam fore ut aliae curvae quam sectiones conicae exirent, sed metus omnis evanuit ubi calculum prosequutus eram; addidi enim ipsi $-dx$ integr. $-ddx$, const. ${\frac {yydt}{aa}}$ et habui aequationem $-dx-{\frac {yydt}{aa}}=-{\frac {yydt}{a{\sqrt {aa+tt}}}}$, vel $-dx={\frac {yydt}{aa}}-{\frac {yydt}{a{\sqrt {aa+tt}}}}$ (id est substituendo ${\frac {aaxx}{tt}}$ loco $yy$) $={\frac {xxdt}{tt}}-{\frac {axxdt}{tt{\sqrt {aa+tt}}}}$ aut $-{\frac {abdx}{xx}}={\frac {abdt}{tt}}-{\frac {aabdt}{tt{\sqrt {aa+tt}}}}$; Ergo sumtis integralibus erit ${\frac {ab}{x}}\pm c=-{\frac {ab}{t}}+{\frac {b{\sqrt {aa+tt}}}{t}}$. Atque sic secunda vice calculum absolveram quo membrum $-{\frac {ab}{t}}$ (posset etiam esse $+{\frac {ab}{t}}$) recens accesserat quod primo calculo neglexeram, qua tamen accessione non obstante aequatio erit tantum duarum dimensionum adeoque ad Sect. Conicas, fit enim $ab\pm cx=-by+b{\sqrt {xx+yy}}$. Sed optas adhuc, ut methodum meam in hypothesi generali tentem, eaque propter et ego ejus periculum feci, et problema tantae facilitatis comperi loco tantae perplexitatis quam indeterminatarum permixtionem inducere credidisti, ut praecedenti indeterminatas separandi artificio opus non esset, cum indeterminatae utcunque intricatae sponte sua separentur. Sit ergo (fig. 1) $ABC$ trajectoria quaesita, axis $AI$, Centrum virium $S$. $SI=x$, $IB=y$, $SB={\sqrt {xx+yy}}=z$, $BC=CE=ds$, $EF=-ddy$, $DF=-ddx$; et propter $\bigtriangleup \bigtriangleup$ simil[es] $DEF$ et $BSI$ (pono enim $DE$ parallelam $SC$ vel $SB$) erit $DE=-{\frac {zddx}{x}}$ et $yddx=xddy$ seu $ddy={\frac {yddx}{x}}$, Vis centripeta in $C=\xi$ data in $z$ et constantibus; Erit ergo generaliter $-{\frac {a^{4}zddx}{x}}=\xi \times {\overline {ydx-xdy}}^{2}$. Sed aequatio $xx+yy=zz$ suppeditat $xddx+yddy+dx^{2}+dy^{2}=zddz+dz^{2}$; vel $xddx+yddy=zddz+dz^{2}-dx^{2}-dy^{2}=zddz-dr^{2}$ (posito arcu $BO=dr={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}-dz^{2}}}$ et cum $dr$ sit etiam = ${\frac {ydx-xdy}{z}}$) = $zddz-{\frac {{\overline {ydx-xdy}}^{2}}{zz}}$; unde substituto loco $ddy$ valore ${\frac {yddx}{x}}$; erit ${\frac {xx+yy}{x}}\times ddx={\frac {zzddx}{x}}=zddz-{\frac {{\overline {ydx-xdy}}^{2}}{zz}}$; adeoque etiam $-{\frac {a^{4}zddx}{x}}=-a^{4}ddz+{\frac {a^{4}\times {\overline {ydx-xdy}}^{2}}{z^{3}}}=\xi \times {\overline {ydx-xdy}}^{2}$. Ergo dividendo utrinque per ${\overline {ydx-xdy}}^{2}$, fiet ${\frac {a^{4}}{z^{3}}}-{\frac {a^{4}ddz}{{\overline {ydx-xdy}}^{2}}}=\xi$; vel ${\frac {a^{4}dz}{z^{3}}}-{\frac {a^{4}dzddz}{{\overline {ydx-xdy}}^{2}}}=\xi dz$. Jam quia duplum trianguli $ABC$ seu $ydx-xdy$ constans est, integralia erunt ${\frac {1}{2}}ab-{\frac {a^{4}}{2zz}}-{\frac {a^{4}dz^{2}}{2,{\overline {ydx-xdy}}^{2}}}=\int \xi dz$. Atque hinc elicio ${\frac {ydx-xdy}{z}}=dr={\frac {aadz}{\sqrt {abzz-2zz\int \xi dz-a^{4}}}}$. Si porro arculus Centro $S$ et radio quolibet $c$, descriptus, ipsi $BO$ similis vocetur $du$, habebitur sequens aequatio $du={\frac {aacdz}{z{\textrm {[?]}}{\sqrt {abzz-2z^{2}\int \xi dz-a^{4}}}}}$. Vides ergo hanc methodum ut ut ducentem ad aequationem differentio-differentialem non nimis prolixam nec difficilem esse utpote quae non indiget radio circuli osculatoris nec peculiari formula virium Centripetarum. Caeterum geminam Tuam ejusdem Problematis solvendi methodum magna cum voluptate perlegi quarum prior perelegans mihi visa est et Newtoniana multo simplicior, id tamen non efficit ut alterum quae per differentialia secunda procedit minus aestimem, cum satis egregium artificium separandarum secundarum differentialium easdemque postea integrandi contineat, adeo ut Tibi me obstrictum etiam hoc nomine agnoscam, quod eam mecum communicare dignatus es.

Cum de ejusmodi Problematis Virium Centralium sermo sit, paucis adhuc delibare placet eorum quae Dn. Verzaglia Diario Veneto super hoc argumento inseruit, incertus an Autor ipse eorum Te certiorem fecerit. Schediasmatis Italice scripti titulus latine sic sonat. Modus inveniendi orbitas quas Planetae des[c]ribent data quacunque Virium Centralium lege, cum regula quadam pro eadem vi in medio variantis densitatis quod mobili resistat. Primo generaliter solvit Problema quod supra tractavi. In ejus Schemate (quod hic fig. 2 expressi) $CFH$ est Curva describenda et $A$ Centrum virium. Ponit $AC=x$, $BF=dx$, $CB=dy$, $CF=ds$. Vim Centrip. in $C=f$, radium circ[uli] osculatoris in $C$ seu $CG=r$; invenitque $f={\frac {ds^{3}}{rxxdy}}$ quae formula cum Tua penitus coincidit: tandemque assumtis tribus formulis pro radio evolutae $r$, quae resultant ex suppositione $dy$, vel $ds$ vel $dx$ constantis, inde deducit $f={\frac {ds^{2}-xddx}{x^{3}dy^{2}}}$ vel $f={\frac {ds^{2}dy^{2}-xds^{2}ddx}{x^{3}dy^{4}}}$, aut $f={\frac {dyds^{2}+xdxddy}{x^{3}dy^{3}}}$; postea simpliciter asserit, unam quamque harum formularum factis necessariis operationibus quas tamen non describit, suppeditare hanc aequationem $dy={\frac {dx}{\sqrt {nxx-1-2xx\int fdx}}}$. Porro prolixe ostendit, quo pacto ex Constructione Newtoniana obtineatur eadem quam invenit, aequatio. Huic Problemati aliud subjungit non inelegans. "Invenire Vim Centralem requisitam ut mobile datam Curvam describat in medio fluido cuius densitas certa lege varietur, quodque mobili resistat in quavis ratione densitatis et Celeritatis ad quamvis dignitatem evectae." Simplicem formulam adducit vel solutionem absque analysi, asserit enim quod, positis iisdem quae supra symbolis fore $f=c^{{\frac {1}{a}}\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{\frac {1-m}{a}}}\int c^{{\frac {m-1}{a}}\int pdx}qdx$ vel $f=c^{{\frac {1}{a}}\int pdy}{\sqrt[{1-m}]{\frac {1-m}{a}}}\int c^{{\frac {m-1}{a}}\int pdy}qdy$. Ubi $a$ est loco unitatis $lc=a=1$, $n$ est dignitas velocitatis, $m={\frac {1}{2}}n$, $p$ et $q$ sunt quantitates datae in $x$, $y$ et constantibus. Ego autem invenio $f=pc^{2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{2-n}}\int c^{n-2\int pdx}qdx$, ea analysis ita habet. (fig. 2) $IC$ et $CF$ sunt duae particulae curvae aequali tempusculo percurrendae in vacuo, adeoque $CE=IC$; at propter resistentiam medii fiet ut secundo post particulam decursam $IC$ tempore loco $CF$ tantum percurrat $Cf$. Unde si velocitas super $IC$ sit $u$, velocitas vero super $Cf=u-du$. Centro $C$ intervallo $CE$ descripto arculo $Ee$, propterque isochronismum motuum super $IC$ et $Cf$; fiet $IC$ vel $Ce.fe::u.du$; adeoque $fe={\frac {dsdu}{u}}=fF+FE$ vel $fF={\frac {dsdu}{u}}-FE={\frac {dsdu}{u}}-{\frac {dxds^{2}}{rdy}}$. Sed $Ff$ est ut resistentia quam voco $R$, et quadratum temporis conjunctim seu $R\times {\frac {ds^{2}}{uu}}$; unde habetur ${\frac {dsdu}{u}}-{\frac {dxds^{2}}{rdy}}=R\times {\frac {ds^{2}}{uu}}$ et $R={\frac {udu}{ds}}-{\frac {uudx}{rdy}}$. Praeterea posita densitate $z$ et $n$ indice potestatis ad quam velocitas evecta supponitur, erit resistentia etiam ut $u^{n}z$; ergo ${\frac {udu}{ds}}-{\frac {uudx}{rdy}}=u^{n}z$; vel ${\frac {du}{u}}-{\frac {dsdx}{rdy}}-u^{n-2}zds=0$, et (positis ${\frac {ds}{rdy}}=p$ ac $zds=qdx$), ${\frac {du}{u}}-pdx-u^{n-2}qdx=0$, quae tandem (assumta aequatione $u=MN$) mutatur in ${\frac {dM}{M}}+{\frac {dN}{N}}-pdx-M^{n-2}N^{n-2}qdx=0$. Iam si ${\frac {dM}{M}}=pdx$, erit etiam ${\frac {dN}{N}}=M^{n-2}N^{n-2}qdx$, prima dat $lM=\int pdx=\int pdx\times lc$, unde $M=c^{\int pdx}$, altera vero fit $N^{1-n}dN(=M^{n-2}qdx)=c^{n-2\int pdx}qdx$; sumtisque integralibus ${\frac {1}{2-n}}N^{2-n}=\int c^{n-2\int pdx}qdx$; unde $N={\sqrt[{2-n}]{2-n}}\int c^{n-2\int pdx}qdx$; et $u(=MN)=c^{\int pdx}{\sqrt[{2-n}]{2-n\int c^{n-2\int pdx}qdx}}$; ergo posito $m={\frac {1}{2}}n$ erit $uu=c^{2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{2-n\int c^{n-2\int pdx}qdx}}$. Porro cum $FE$ sit ut Vis Centripeta ($f$) ducta in quadratum temporis (${\frac {ds^{2}}{uu}}$), erit $FE={\frac {ds^{3}}{rdy}}={\frac {fds^{2}}{uu}}$; et $uu={\frac {frdy}{ds}}={\frac {f}{p}}$, cum $p$ sit $={\frac {ds}{rdy}}$. Unde invenitur $f=pc^{2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{2-n\int c^{n-2\int pdx}qdx}}$, non vero $f=c^{\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{1-m}}\int c^{m-1\int pdx}qdx$, ut habet Dn. Verzaglia. Oportet itaque ut alteruter nostrum hallucinatus sit, si nullus error typographicus in ejus Schediasma irrepsit; unde quid Tu de hisce et de Prop. XVI pag. 289 Princ. Phil. Nat. Math. Newtoni sentias, gratum mihi erit intelligendi. Newtonus circa finem dictae Prop. concludit, quod, posita Vi Centrip. ut ${\frac {1}{SP^{n+1}}}$, resistentia mobilis in $P$ futura sit, ut ${\frac {{\frac {1}{2}}nOS}{OP\times SP^{n+1}}}$, ego vero principia ejus secutus, invenio resistentiam, ut ${\frac {{\overline {1-{\frac {1}{2}}n}}OS}{OP\times SP^{n+1}}}$. Sed transeat hoc, ut veniam ad ejus consequentiam quae mihi admodum subtestae fidei videtur. "Et propterea", concludit, "densitas in $P$ est reciproce, ut $SP^{n}$". Hoc autem verum esse non potest, nisi statuat velocitatem in $P$ esse ut ${\frac {1}{\sqrt {SP}}}$, adeo ut ejus duplicata sit ${\frac {1}{SP}}$. Sed si Vis Centrip. est ut ${\frac {1}{SP^{n+1}}}$ velocitas non potest esse ut ${\frac {1}{\sqrt {SP}}}$ sed ut, ${\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}$ cujus duplicata erit ${\frac {1}{SP^{n}}}$; unde cum resistentiam assumat, ut quadratum Velocitatis et densitas medii simul, Densitas erit ut ${\frac {1-{\frac {1}{2}}n\times OS}{OP\times SP}}$ seu ut ${\frac {1}{SP}}$ non vero ut ${\frac {1}{SP^{n}}}$; adeoque hoc pacto tota propositio XVI corruit. Antequam finiam non abs re mihi videtur si monitum Dn. Verzagliae quod Schediasmati suo apposuit suismet verbis quae facile a Te intelligentur tametsi etrusco sermone proposita sint, hic subjungam. "Per ultimo", inquit ille, "qui mi trovo in obligo d'avvertire, che il Celebre Sig. Gio. Bernulli da Basilea, cui tutto ciò che si cela, o è disperato per gli altri altri, o è riserbato alla gloria de' posteri; elegantissimamente ha sciolto l'uno e l'altro de' precedenti problemi prima di me, amen due con una sottilissima maniera sua propria e diversa della mia; la quale però, insieme con tutto quello, chio possa mai da me stesso ritrovare, acconsento volontieri, che sia dovuta al sapere d'un tanto Uomo, il quale per lo spazio di un anno e mezzo avendomi non solo graziosamente sofferto in sua Casa, ma fattomisi per tutto quel tempo fedelissima guida in questi studi, in premio della pena, che s'è pigliata in contrastare si lungo tempo con la contumacia de miei poveri talenti, merita bene questo piccolo tributo di gratitudine, giacche la mia debolezza non m'ha permesso, ne forse mai mi permetterà far conoscere in altra forma al mondo tutta la cognizione che tengo delle mie obbligazioni che mi corrono con si grand'Uomo, à mi lumi faro sempre mia gloria d'attribuire qualunque siasi il profitto, chio possa aver fatto in queste materie." Sed ut reliqua Capita epistolae Tuae percurram, descriptio modi aeris ponderandi per condensationem a Te magis promoti satis distincta et clara mihi jam videtur, ut peculiari ad id figura non opus habeam; similem modum etiam proponit Borellus in suis motionibus naturalibus a gravitate pendentibus, sed a Te facilior et commodior redditus is videtur. Quod mihi dedicationem Sanctorii gratularis, amice agis, ut quoque amice egit Bibliopola hanc medicinam staticam mihi inscribens, qui in epistola nuncupatoria in mei honorem a mendaciis forte officiosis non abstinuit. A Parente meo etiam accepi Doctiss. ex Fratre Senatore Nepotem Tuum Parisiis rediisse in Patriam: cum ego etiam impense cupiam ut meae stationi aliquando praeficiatur, si aliam interea (de quo tamen dubito) nactus non fuerit; non est quod dubites, quin omnia quae potero media adhibiturus sim, ut is in praemium insignium suorum meritorum et decus hujus Academiae huc vocetur, statim atque sors obtulerit, ut alio me conferam atque Professioni meae valedicam, quod quandonam futurum sit, solus Deus novit, cum hac de re nihil adhuc certi apud me constitutum sit, maxime hoc tempore quo habitatio haec mea ob Venetiarum viciniam in dies acceptior mihi accidere pergat. Quae mihi circa controversiam de Plusquam infinitis perscripseras cum Cl. Grando communicavi, ad quae sequentia rescripsit. ["]Gratissima sunt quae ex Bernoulliana epistola ad me perscribis, nec satis mirari possum, cur Varignonius qui sibi toties a Cl. Viro satisfactum fuisse testatus fuerat, circa materiam plusquam infinitorum, scrupulos ea de re suos prodire passus sit, eo praesertim superstite, a quo poterat de inconstantia revinci. Porro dum Cl. Bernoullius cogitata sua mihi perlibenter super hoc argumento communicaturum benigne offert, fortunae meae plane deessem, si elabi mihi paterer gratissimam occasionem instaurandi hoc litterarium commercium cum tanti Nominis Viro, quem ob egregia sua erga Geometriam merita semper a long[o] suspexi, summaque veneratione inter primarios hujus scientiae Instauratores colendum existimavi. Rem itaque tuo in me amore dignam praestabis, si ab humanissimo Viro quae de Plusquam Infinitis olim ad Varignonium persuadendum proposuit, mihi etiam communicanda impetraveris, videtur enim Gallus Geometra eorum oblitus, neque fortasse abs re erit, si eadem ab Italo sibi in memoriam revocari audiat: quin etsi nulla se amplius occasio oblatura fortasse sit de hac controversia disceptandi, aut aliquid jam impressis addendi, mihi saltem non poterit esse non proficuum, quicquid ex Bernoullii Calamo discere potero.["] Hactenus ille; Vides ergo Cel. Vir, quam avide expectet cogitata tua super Plusquam infinita, adeo ut sperem ea me ab humanitate impetraturum esse, cum egregio Viro communicanda. Prodiit haud ita pridem Gulielmini opus posthumum de Principio Sulphureo in cujus praefatione a Dn. Alexandro Bonis Medico Veneto et Mathematum aliquantum gnaro conscript[a] et Tui honorifica fit mentio his Verbis. ["]Quam ob rem, ut exploratum denique fuit, totius Physicae fundamentum esse Geometriam, hinc nonnullorum altius assurgentes animi nuper in majorem nitendi ansam arripuerunt. Hi fuere Viri Mathematice docti, qui ita acrem mentis aciem in omnes partes intendere coeperunt, ut Chymicam quoque Naturae Mathesin, multa licet caligine obvolutam, internoscere valerent, quam ipsi viderint, nos etiam ut videamus effecturi; magno sane argumento Geometriam singularum artium Magistram omnia consequi potuiss[e] simul ut velle occaeperit. Praeclara horum tentaminum specimina nobis exhibuit Johannes Bernoullius, quae quide[m] innuisse sufficiat, ut laudentur; adeo nota Bernoulliorum facilitas in iis Scienter expediendis, quae maxima Naturae obscuritate occultantur.["] A Dn. Nic. Bernoulli Jacobi Filio per literas accepi, se Venetias proxime iter facturum esse, unde si ejus profectio contingeret antequam Pater meus a Bibliopolis obtinere potuerit duos libellos ut Moyens de rendre les Rivieres Navigables; et Villemotii Nouveau Sisteme du mouvement des Planetes quorum spem ipsi fecerunt, Pater meus Te enixe rogare audebit, ut Tua exemplaria quae habes ipsi concedere digneris quae Dn. Nicolao mihi afferenda dari possint, cum fide data ea proxima in eadem qualitate Tibi restitutum iri; fateor hoc esse Tua humanitate nimium abuti, sed veniam me impetraturum spero, si consideraveris tam cito opportun[am] occasionem hos libros accipiendi nequaquam esse sperandum, atque ideo oblata utendum. Porro cum Cl. Varignon valde cupiat videre libellum Cl. Grandi, si quae opportunitas occurreret Tuum exemplar Parisios mittendi rogarem simul ut mittere id digneris, cum ego proxima occasione qualis intra duos menses occurret, aliud integrum exemplar sim missurus quod melius habitum erit ac id, quod nunc habes; ignosce huic meae libertati meque amare non desine. Vale.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)