Bernoulli, Johann I an Hermann, Jacob (1710.12.23)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Hermann, Jacob, 1678-1733
Ort	Basel
Datum	1710.12.23
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.8
Fussnote	Autographes PS

Acutissimo et Celeberrimo Viro

Jacobo Hermanno

S. P. D.

Joh. Bernoulli.

Ecce Adgnatum meum Pictorem, qui litteras hasce Tibi Vir Cel. tradendas detulit Venetias iturus, cui si quid amicitiae praestiteris, aut Tua ex comendatione ab aliis obtigerit nihil sane feceris, credo, quod non Patris ejus memoriam abs Te postulare ultro sis agniturus. Quare non opus esse judico, pluribus eum Tibi verbis com[m]endare. Dedi Rev. Patri Tuo desideratos libellos, scil. Moyens de rendre les Rivieres navigables, et Villemotii Nouveau Systeme etc., jam ante aliquod tempus, antequam novissimas Tuas accepissem, hos nunc idem meus Adgnatus ad Te deferet. Gaudeo Tibi placuisse quae in postremis meis communicavi. Si barometrum meum dignum judicaveris cui locum concedas in opusculo Tuo de fluidis, non equidem repugno, modo forte jam non in aliis, me inscio, reperiatur libris ab alio ante me inventum, de quo tamen valde dubito. Nunc quidem video quomodo aequationem differentialem 2^di gradus pro solutione Problematis inversi virium centralium integraveris, nempe introducendo alias litteras, sed hoc ipsum ad meum accedit modum quod inprimis apparet ubi eum applicas ad hypothesin generalem; in eo enim res tota versatur ut debita fiat electio indeterminatarum, quae postea sponte separabuntur; sic itaque cum ponis ${\sqrt {xx+yy}}=z$; et ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}-dz^{2}}}=dr$, relaberis sane in ipsam meam methodum, nec est quod dicas, Te non indigere radio osculi, neque peculiari forma virium centripetarum; quam facile enim est? illis suppressis valorem in litteris substituere; formulam autem illam studio adhibui non ex necessitate, quoniam non inelegans mihi videbatur theorema exprimens canonem ex quantitatibus finitis, et ordinariis pro determinandis viribus centripetis. Postquam Cl. Varignonio Tuam et meam hujus Problematis inversi solutiones transmisissem, cum Academia Scient. communicandas; ille mihi rescripsit, se ex formulis suis directis olim in Commentariis Acad. publicatis, jam etiam eruisse hujus inversi solutionem et nunc iterum nudius tertius, quo Tuas accepi litteras, eodem quoque die aliam ab ipso octo paginarum in 4^to epistolam simul accepi, ubi multa de hac materia habet, quae omnia legere vix vacat; miror tantum eum ante nostras solutiones visas per tot annos quibus huic materiae insudavit nullam solutionem dedisse. Quae habet Verzaglia de hac et simili materia recte dicit se mihi omnia debere; miror hominis alias morosi, misanthropi, corpore et anima sordidi, et quod maximum est atrociter ingrati (utpote qui hinc abiit, non tantum sine omni remuneratione, et gratiarum actione pro mea fideli informatione, sed etiam pro hospitio et convictu non omni ex parte satisfaciens me in damno reliquit et, quod horribile dictu, post discessum suum rescripsit mihi epistolam invectivam tot execrandis calumniis, mendaciis et [iniuriis] referam, ut vix Diabolus simile q[ui]d effingere [posset], miror inquam nunc hujus hominis ingenuam confessionem mihi quidem honorificam; forte conscientia ipsum eo adegit; forte blandiciis istis aliquid veneni sublatet; forte etiam verbis me pascere volens credidit jam satis esse etsi re ipsa nihil praestiterit, seque ita jam eluisse ingrati animi maculam, adeoque omnem a me sibi timendam exprobrationem subterfugisse: quicquid interim sit, fortassis in se descendet, quare nollem ut quod hic Tibi scribo ille resciscat. Recte notas formulam a Verzaglia publicatam pro "invenienda vi centrali requisita, ut mobile datam curvam describat in medio fluido, cujus densitas certa lege varietur, quodque mobile resistat in quavis ratione densitatis et celeritatis ad quamvis dignitatem evectae" vitio laborare, cujus culpa nescio, Typothetaene, an Verzagliae, cui haec et alia omnia quae secura reportavit subministravi, non recte scribentis; interim nec Tua formula omni errore caret, invenio enim per meam methodum $f=pc^{-2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{{\overline {-2+n}}\int c^{{\overline {-n+2}}\int pdx}}}qdx$, non vero $f=pc^{2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{{\overline {2-n}}\int c^{n-2\int pdx}qdx}}$, ut Tu habes, suppono equidem (quod et Tu tacite supponis) mobile describere curvam $ICH$ ascendendo, nam si eandem descendendo describere deberet, manente eadem densitatum lege, jam alia virium lex prodiret, quae hac formula $f=pc^{-2\int pdx}{\sqrt[{1-m}]{{\overline {-n+2}}\int c^{-n+2\int pdx}qdx}}$ exprimetur; Tua interim formula obtineret in casu impossibili ubi scilicet supponitur velocitatem mobilis in ascensu augeri, versis istis viribus in contrarium ita nempe ut pro vi centripeta intelligatur vis reflexa, hoc est ea quae tenderet ad focum oppositum, seu ad punctum in quo rectae duae proximae ex centro virium in curvam tanquam speculum incidentes, post reflexionem concurrerentur et pro resistentia concipiatur medium quod motum mobilis a Tergo juvaret, adeoque utraque vis tam reflexa quam medii conspirarent ad augendam velocitatem mobilis. Origo erroris Tui ex eo venit quod posueris $Cf=u-du$, loco $Cf=u+du$, cum enim in hoc casu crescentibus $x$ necessario decrescant $u$, patet eorum elementa $du$ esse negativa, adeoque in calculo scribendum esse $u+du$, non vero $u-du$, quoniam negatio negationis est affirmatio; nec vero facile errorem Tuum tam levem specietenus animadvertissem, nisi a solutione Tua discrepassem in resultante aequatione inventa per methodum meam, quae breviter huc redit, retentis symbolis iisdem, vis motrix (quam ita cum Newtono voco eam qua mobile secundum tangentem propter vim centripetam urgetur) ex resolutione motus invenitur $={\frac {fdx}{ds}}$, est autem per hypothesin vis resistentiae $=zu^{n}$, ergo vis totalis qua mobile in ascensu retrahitur secundum tangentem $={\frac {fdx}{ds}}+zu^{n}$, multiplicetur hoc per elementum temporis ${\frac {ds}{u}}$, ad habendum decrementum velocitatis $-du$, unde oritur haec aequatio ${\frac {fdx+zu^{n}ds}{u}}=-du$: nunc iterum ex resolutione motus habetur vis, qua mobile a tangente secundum perpendiculum deflectitur $={\frac {fdy}{ds}}$, est vero recessus perpendicularis momentaneus a curva, hoc est, lineola $Ee$ (vid. Fig. Tuam II) $={\frac {ds^{2}}{2r}}$ non vero ${\frac {ds^{2}}{r}}$ ut Tu facis, est enim in hac materia tangens consideranda non ut prolongatum latusculum $IC$, sed ut tangens circuli osculatoris, alias in errorem incideres Varignonii, qui vim centrifugam in corporibus gyrantibus duplo majorem credidit quam par est, quanquam Tuus error hoc loco ob certam rationem rei ipsi nihil officiat, quod hic obiter monere volui. Data autem vi qualibet uniformiter acceleratrice quae sit $G$, qualis est gravitas, et qualis quaelibet haberi potest ab initio, et data altitudine $A$, quam corpus uniformi illa vi acceleratum certo tempore $T$ a quiete emetitur, invenitur quod $T$ exprimendum sit per ${\sqrt {\frac {2A}{G}}}$, adeoque applicando hoc ad rem nostram ubi $A$ est $Ee$ seu ${\frac {ds^{2}}{2r}}$, $G$ vero ${\frac {fdy}{ds}}$, et $T$, tempus per $CE$ seu ${\frac {ds}{u}}$, habebitur $T$, seu ${\frac {ds}{u}}={\sqrt {\frac {ds^{3}}{frdy}}}$, ex quo reperitur $f={\frac {uuds}{rdy}}$, quod ergo substitutum in superiori aequatione ${\frac {fdx+zu^{n}ds}{u}}=-du$, dat ${\frac {dxds}{rdy}}+u^{n-2}zds=-{\frac {du}{u}}$, vel ${\frac {du}{u}}+{\frac {dxds}{rdy}}+u^{n-2}zds=0$, prorsus ut Tu habes exceptis tantum signis in quibus errasti, reliqua vero peregi eodem modo quo Tu usus es, ubi primarium artificium consistit, in assumtitia illa aequatione $u=MN$, quam ego primus ni fallor introduxi et in usum vocavi, ut videre est ex Actis Lips. 1697 p. 115 et sine qua $u$ non facile inveniri posset. Assumtio deinde literae $c$ cujus Logarithmus $1$ est aliquid, de quo ante me nemo cogitavit, magnae quidem utilitatis ad quantitates non logarithmicas tanquam logarithmicas considerandas, et ex iis percurrentes seu exponentiales formandas. Ut vel hinc colligere possis formulas a Verzaglia allatas non ex ipsius cerebro scaturiisse, etiamsi id non fassus fuisset. Caeterum hac mea methodo recte adhibita potest etiam solvi hoc problema "Datis duobus pluribusve centris virium quarum singula peculiari lege virium ad se alliciunt corpus motum in medio sive resistente sive non resistente, invenire ex datis legibus virium et resistentiae naturam curvae quam corpus describit, vel vicissim." De hoc quod miror nihil habet Newtonus. Quod attinet ad ipsius prop. XVI. pag. 288 inspexi etiam, ad quam haec se refert, prop. praecedentem XV; sed cum hujus Auctoris demonstrandi modus ob perplexitatem et taediosam quam requirit attentionem, molestus mihi non valde arridet, malui per methodum meam supra allatam inquirere quid de duabus istis propositionibus esset statuendum, quam Auctoris demonstrationes examinare, invenio autem utramque propositionem vitio laborare; propositio enim XV non satis dicit, et XVI nimium dicit; illa quippe generalius enunciari potuisset sic: "Si medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta non tantum in duplicata sed in quacunque multiplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in aliqua spirali logarithmica": oportet autem exponentem densitatis majorem esse quam 3 si mobile ascendit et minorem quam 3 si descendit. Sit enim $k$ exponens rationis illius, $h$ secans anguli spiralis cum recta ex centro ducta (sumta sc. unitate pro sinu toto) $R$ vis resistentiae, $f$ vis centripeta, $D$ densitas, $u$ velocitas: invenio $R.f::k-3.2h$, et $u$ proportionalem ipsi $D{\frac {l}{2}}k-{\frac {1}{2}}$. Propositio XVI vero nimium dicit quoniam falsum dicit; ut enim corpus gyrari possit in spirali, posita medii densitate reciproce ut dignitas aliqua $n$ distantiae $x$ locorum a centro, invenio vim centripetam oportere esse proportionalem $x^{-3}c{\frac {3-k}{1-n}}x^{1-n}$ (per $c$ intelligo numerum cujus logarithmus $=1$) quae utique quantitas nullo in casu potest esse dignitas aliqua ipsius x: nisi cum $n=1$ qui casus est prop. praeced. vel cum $k=3$, qui autem casus hic iterum ut ante non est attendendus, quia densitatem medii nullam facit Caeterum invenio $R.f::k-3x^{1-n}.2h$, et $u$ proportionalem ipsi $x^{-1}c{\frac {3-k}{2-2n}}x^{1-n}$. Non minus in Auctoris solutione prop. X, pag. 260 oportet paralogismum commissum esse, si quidem ex ea manifeste falsum et notoria sequitur contradictio; nam in applicatione problematis ad circulum pag. 265, concludit esse resistentiam ad gravitatem ut $OB$ ad $OK$; est vero gravitas ad vim motricem ut $OK$ ad $OB$; ergo ex aequo; resistentia ad vim motricem ut $OK$ ad $OK$, hoc est resistentia foret aequalis vi motrici, adeoque velocitas ubique aequabilis et eadem, quod est absurdum, et contra id quod paulo post dicit, nimirum velocitatem esse ut ${\sqrt {2BC}}$, ergo sibi ipsi contradicit: ego vero invenio per meam methodum Resist. ad grav. ut $3OB$ ad $2OK$, adeoque ob gravit. ad vim motricem ut $2OK$ ad $2OB$, erit Resist. ad vim motricem ut $3OB$ ad $2OB::3.2$, quod cum velocitate optime cohaeret. Cl. Guidoni Grando satisfaciam alio tempore, cum plus otii nactus fuero; interim Cl. Varignonius mihi sciscitanti quare hanc materiam recoxerit, cum tamen ut videbatur mea scrupulorum suorum solutione contentus esset, respondit se non negare infinite magnorum sicuti infinite parvorum gradus infinitos sed negare se illas quantitates ideo vocandas esse "plus quam infinitas" hoc est plus quam "inexhaustibiles"[,] se enim per vocem "infiniti" nihil aliud intelligere quam quod exhauriri non possit; ita ut nunc controversiam totam in logomachiam convertere conetur Varignonius: quare nollem ut si quid cum Cl. Grando sum communicaturus illud ad aures Varignonii veniat, ne ego litem sopitam resuscitare velle ipsi videar: mittam ipsi Parisios prima qualibet occasione (quia jubes) exemplar libelli Grandiani, ad quam ut intelligere potui respondebit, sed modestissime. Quod super est Vale et annum novum, quem propediem auspicabimur, cum pluribus aliis secuturis feliciter decurre.

Dabam 23 Xbris 1710.

P. S. Mater adgnati mei hac hora me conveniens, Te meis verbis cum officiosissima salute instanter rogat, ut Filium suum Tibi commendatum habeas, sed nullam prorsus pecuniam ipsi commodes, ne prodigalitatem Parisiis nimium exercitam, de novo imbibat, et sic pauca quae restant de patrimonio suo brevi dilapidet.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)