Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1718.04.03)

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Autor	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1718.04.03
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.17*
Fussnote	S.1-3 "Solutio Problematis à D.G.G. Leibnitio Geometris Anglis nuper propositi. Per Brook Taylor, LL. D. Et R.S. Secr." Bleistiftstriche und NB von Joh. I B. Der Sendung war die Lösung von M. Nicole beigelegt. Sie fehlt heute. Original (Schlussabschnitt autograph)

Solutio Problematis a D. G. G. Leibnitio Geometris Anglis nuper propositi. Per Brook Taylor, LL. D. Et R. S. Secr.

Cum Dom. G. G. Leibnitius nuper defunctus, in controversia jam pridem orta circa inventionem Methodi fluxionum, (quam is Differentialem vocare maluit, sibique pertinaciter appropriari nisus est,) nihil omnino responsi dederit argumentis, quibus inclyti istius inventi gloria Dom. Newtono vendicatur; en tandem, hortante Dom. Joan. Bernoulli, problema Geometris Anglis solvendum proposuit; quo scilicet vires eorum in Methodo ista experiretur, quasi problematis istius solutioni si caeteri istius nationis deprehendantur impares, recte concludatur, nec ipsum Newtonum, qui, favente etiam Leibnitio ab hujusmodi contemplationibus jam jure immunis esse debet, olim parem fuisse inventioni istius Methodi. Sive problema solvatur, sive insolutum maneat, nihil exinde consequetur quod Newtonum afficiat; Nec istis certe Leibnitii fautoribus, qui problematis solutionem etiamnum continenter efflagitant, jus ullum est, nos ad certamen ingeniorum tanta cum licentia provocandi, adeoque problema eorum jure merito negligi posset. Verum ne aliquando exinde occasionem triumphandi arripiant, si hoc problema maneat ab Anglis omnino intactum, ipse, Geometra longe non summi inter nostrates subsellii, inducor, ut solutionem edam qualem qualem problematis, nec usu, nec difficultate adeo insignis.

Problema a Leibnitio primo propositum, ita fuit intellectum quasi nihil aliud requisitum fuisset, quam ut secarentur ad angulos rectos hyperbolae conicae iisdem centro et verticibus descriptae. Verum cum illi nunciatum fuerat hunc casum a quibusdam Anglis fuisse illico solutum, rescripsit, non solutionem casus particularis, sed generalem requiri. Quo factum est ut solutiones istae particulares non editae fuerint; Verum in Transactione philosophica N.^o 347 subinde prodiit solutio maxime generalis. Sed nec illa contenti fuerunt Leibnitius et fautores ejus, quin illam derisui habuere, quasi qui illam excogitaverat non potuisset eam ad casum specialem applicare. Si nondum viderint quomodo ex illa aequationes sint deducendae, id profecto illorum imperitiae tribuendum erit. Paulo ante Leibnitii obitum prodiit tandem problema sequens; quod quidem diversimode solvi potest, premendo vestigia solutionis generalis modo citatae, sed quod in praesentia solvimus ut sequitur.

Problema. Super recta $AG$ (fig. 1) tanquam axe, ex puncto $A$ educere infinitas Curvas, qualis est $ABD$, ejus naturae, ut radii osculi, in singulis punctis $B$ et ubique ducti, $BO$ secentur ab axe $AG$ in $C$, in data ratione, ut nempe sit $BO$ ad $BC$ ut 1 ad $n$.

Deinde construendae sunt trajectoriae $EBF$ primas Curvas $ABD$ normaliter secantes.

Solutionis pars 1.^a nempe Inventio Curvarum secandarum $ABD$.

1.^o Ducta ordinata $BH$ ad axem $AG$ normali, sint abcissa $AH=z$, ordinata $HB=x$, Curva $AB=u$. Tum per methodum fluxionum directam erit $BC={\frac {\dot {u}}{\dot {z}}}x$, et fluente uniformiter $u$, $BO={\frac {{\dot {u}}{\dot {x}}}{\ddot {z}}}$. Unde per conditionem problematis fit $BO\,{\textrm {(}}{\frac {{\dot {u}}{\dot {x}}}{\ddot {z}}}{\textrm {)}}:BC\,{\textrm {(}}{\frac {\dot {u}}{\dot {z}}}x{\textrm {)}}::1:n$ adeoque ${\ddot {z}}x-n{\dot {z}}{\dot {x}}=0$.

2.^o Collata hac aequatione cum formula fluxionum secunda, in calce prop. 6 Methodi incrementorum, invenitur ${\dot {z}}x^{-n}={\dot {u}}\alpha ^{-n}$; existente $\alpha$ linea data, per cujus valorem potest Curva $ABD$ accommodari conditioni alicui problemati annexae.

3.^o Pro ${\dot {u}}$ scripto ipsius valore ${\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}$, migrat aequatio ${\dot {z}}x^{-n}={\dot {u}}\alpha ^{-n}$ in hanc ${\dot {z}}={\frac {{\dot {x}}x^{n}}{\sqrt {\alpha ^{2n}-x^{2n}}}}$. Unde datur $z$ ex data $x$, per quadraturam Curvae cujus abcissa existente $x$, est ordinata ${\frac {x^{n}}{\sqrt {a^{2n}-x^{2n}}}}$.

4.^o Sint $\sigma$ et $\tau$ numeri integri vel affirmativi vel negativi, tales ut sit Curvarum isto modo provenientium simplicissima, ea cujus est abcissa $y$, et ordinata $y^{\frac {1-n+2\sigma n}{2n}}\times {\overline {\alpha -y}}^{\tau -{\frac {1}{2}}}$; tum erit ea omnium Curvarum simplicissima, per quarum quadraturam datur abcissa $z$ ex data ordinata $x$.

5.^o Est Curva $ABD$ Geometrica, quoties pro $n$ sumitur reciprocum numeri cujusvis imparis.

6.^o In praedictis Curvam $ABD$ consideravimus ut versus axem $AG$ concavam, quo in casu maxima ordinata $x$ aequalis est lineae datae $\alpha$, quam parametrum Curvae commode vocare licet. Et in hoc casu Curva actu occurret axi. Unde fluente ipsius ${\frac {{\dot {x}}x^{n}}{\sqrt {\alpha ^{2n}-x^{2n}}}}$ debite sumpta, hoc est, ita ut simul evanescant $z$ et $x$, transibit Curva per punctum datum $A$, sicut postulat problema.

7.^o Sed si quaeratur Curva $ABD$, quae sit versus axem convexa, ad eumdem modum pervenietur ad aequationem ${\dot {z}}={\frac {\alpha ^{n}{\dot {x}}}{\sqrt {x^{2n}-\alpha ^{2n}}}}$; quae etiam ea aequatione priori derivari potest mutando signum ipsius $n$. Et in hoc casu est Curva $ABD$ Geometrica, quoties pro $n$ sumitur reciprocum cujusvis numeri paris. In hoc vero casu Ordinata omnium minima $x$ aequalis est parametro $\alpha$; adeoque Curva nusquam occurrit axi. Quare limitatur problema ad casum priorem.

8.^o Ex praemissis facile colligitur Curvas omnes $ABD$ esse inter se similes, et circa punctum datum $A$ similiter positas, lateribus earum homologis existentibus proportionalibus parametris $\alpha$.

Solutionis Pars Altera; nempe inventio Curvae secantis.

9.^o Ex §2 fit ${\dot {u}}:{\dot {z}}::\alpha ^{n}:x^{n}$. Sed est $BC:BH::{\dot {u}}:{\dot {z}}$; unde fit $BC:BH::\alpha ^{n}:x^{n}$. Ex conditione vero problematis est $BC$ tangens Curvae quaesitae $EBF$. Quare si jam sumantur $AH$ ($z$) et $BH$ ($x$) pro coordinatis Curvae $EBF$, Curva ipsa $EB$ existente $r$, erit, per Meth. flux. direct. ${\dot {r}}:-{\dot {x}}::\,{\textrm {(}}BC:BH::{\textrm {)}}{\,\alpha }^{n}:x^{n}$. Unde fit ${\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}={\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}$.

10.^o In Curva $ABD$ finge aequationem ${\dot {z}}={\frac {{\dot {x}}x^{n}}{\sqrt {\alpha ^{2n}-x^{2n}}}}$ transformari in aequationem signis radicalibus non affectam ${\dot {z}}=A{\dot {x}}{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}+B{\dot {x}}{\frac {x^{3n}}{\alpha ^{3n}}}+{\textrm {etc.}}$ Tum regrediendo ad fluentes fiet $z={\frac {1}{n+1}}A{\frac {x^{n+1}}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{3n+1}}B{\frac {x^{3n+1}}{\alpha ^{3n}}}+{\textrm {etc.}}$ coefficiente nova introducta nulla, quoniam per conditionem problematis debent simul nasci $z$ et $x$. Hinc vice ${\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}$ substituto ipsius valore ${\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}$ in §.^o 9.^o invento, fit $z={\frac {1}{n+1}}Ax{\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}+{\frac {1}{3n+1}}Bx{\frac {-{\dot {x}}^{3}}{{\dot {r}}^{3}}}+{\textrm {etc.}}$ Quae aequatio fluxionalis est primi gradus ad Curvam quaesitam $EBF$. Revocatur autem ad Curvam simpliciorem in terminis numero finitis, modo sequenti.

11.^o Fluat uniformiter $r$, et existente $a$ quantitate non fluente, sit ${\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}={\frac {s^{n}}{a^{n}}}$. Substituto hoc valore ipsius ${\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}$ in aequatione novissime inventa, atque ducta aequatione in ${\frac {s}{x}}$, transformatur ea in hanc ${\frac {zs}{x}}={\frac {1}{n+1}}A{\frac {s^{n+1}}{a^{n}}}+{\frac {1}{3n+1}}B{\frac {s^{3n+1}}{a^{3n}}}+{\textrm {etc.}}$ Unde capiendo fluxiones fit ${\frac {s{\dot {z}}x+{\dot {s}}zx-sz{\dot {x}}}{x^{2}}}=A{\dot {s}}{\frac {s^{n}}{a^{n}}}+B{\dot {s}}{\frac {s^{3n}}{a^{3n}}}$$={\frac {{\dot {s}}s^{n}}{\sqrt {a^{2n}-s^{2n}}}}$. Quod ultimum constat ex analogia serierum $A{\dot {x}}{\frac {x^{n}}{a^{n}}}+{\textrm {etc.}}$ Et $A{\dot {s}}{\frac {s^{n}}{a^{n}}}+{\textrm {etc.}}$ hinc pro $s$ et ${\dot {s}}$ substitutis eorum valoribus ex aequatione ${\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}={\frac {s^{n}}{a^{n}}}$ collectis, elicitur aequatio $n{\dot {x}}^{2}{\dot {z}}z-{\ddot {x}}x{\dot {z}}z-n{\dot {x}}x{\dot {z}}^{2}-{\ddot {x}}{\dot {x}}x^{2}=0$. Quae ad fluxiones primas revocatur modo sequenti.

12.^o in termino ultimo $-{\ddot {x}}{\dot {x}}x^{2}$ vice ${\ddot {x}}{\dot {x}}$ scripto ipsius valore $-{\ddot {z}}{\dot {z}}$, et aequatione deinde applicata ad ${\dot {z}}$, fit $n{\dot {x}}^{2}z-{\ddot {x}}xz-n{\dot {x}}x{\dot {z}}+$$xx{\ddot {z}}=0$. Quae aequatio in $x^{-n-1}$ ducta est fluxio aequationis $-{\dot {x}}x^{-n}z$$+x^{1-n}{\dot {z}}=a^{1-n}{\dot {r}}$; existentibus $a$ et ${\dot {r}}$ non fluentibus. Est ergo $-{\dot {x}}x^{-n}z+x^{1-n}{\dot {z}}=a^{1-n}{\dot {r}}$, seu ${\overline {{\dot {z}}x-z{\dot {x}}}}\times a^{n-1}={\dot {r}}x^{n}$ aequatio fluxionalis primi gradus ad Curvam quaesitam $EBF$.

13.^o in ista autem aequatione est $a$ valor Ordinatae $BH$, quando incidit punctum $H$ in punctum $A$.

14.^o haud proclive est aequationem ${\overline {{\dot {z}}x-z{\dot {x}}}}\times a^{n-1}={\dot {r}}x^{n}$, manente $n$ in terminis generalibus, revocare ad aequationem fluentes tantum involventem, vel ad quadraturam Curvarum. Sed puncta Curvae $EBF$ possunt commode inveniri per descriptionem Curvae $ABD$, et Curvae cujusdam Geometricae. Per Geometricam hic intelligo Curvam, cujus aequationem non ingrediuntur fluxiones, nec fluentes in indicibus dignitarum. Secetur enim Curva $ABD$, cujus parameter sit $\alpha$, in $B$, a Curva Geometrica cujus aequatio est $a\alpha ^{n}x^{n}-za^{n}x^{n}=xa^{n}{\sqrt {\alpha ^{2n}-x^{2n}}}$, atque erit punctum illud intersectionis $B$ ad unam ex trajectoriis quaesitis, nempe quae transit per punctum $E$, existente $AE=a$ et normali ipsi $AG$.

15.^o hinc si $ABD$ sit Curva Geometrica, erit etiam $EBF$ Geometrica.

Scholium. Potest et alio modo inveniri aequatio ${\overline {{\dot {z}}x-z{\dot {x}}}}\times a^{n-1}={\dot {r}}x^{n}$. Nam certa quadam analysi quam nunc celare statuo, inveni aequationem ${\frac {\dot {a}}{\alpha }}={\frac {{\dot {r}}{\dot {r}}}{{\dot {z}}z+{\dot {x}}x}}$. Qua comparata cum aequatione ${\frac {x^{n}}{a^{n}}}={\frac {-{\dot {x}}}{\dot {r}}}$ (§9) eliminando $\alpha$ et ${\dot {\alpha }}$, tandem pervenitur ad praedictam aequationem ${\overline {{\dot {z}}x-z{\dot {x}}}}\times a^{n-1}={\dot {r}}x^{n}$.

Exemplum. Ad demonstrationem solutionis nostrae suffecerit exemplum simplicissimum. Sit itaque $n=1$: quo in casu est $ABD$ semicirculus diametro $AG$ descriptus, atque est $EBF$ item semicirculus descriptus diametro $AE$. Est autem in hoc casu ${\frac {{\dot {x}}x^{n}}{\sqrt {\alpha ^{2n}-x^{2n}}}}={\frac {{\dot {x}}x}{\sqrt {\alpha ^{2}-x^{2}}}}$. Unde in §.^o 3.^o fit ${\dot {z}}={\frac {{\dot {x}}x}{\sqrt {\alpha ^{2}-x^{2}}}}$; adeoque $z=\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-x^{2}}}$, quae aequatio est ad circulum diametro $AG=\alpha$ descriptum, ut fieri debuit. Item pro $n$ scripto 1, aequatio ${\overline {{\dot {z}}x-z{\dot {x}}}}\times a^{n-1}={\dot {r}}x^{n}$ (§12) migrat in hanc ${\dot {z}}x-z{\dot {x}}={\dot {r}}x$. Unde exterminando ${\dot {r}}$ ope aequationis ${\dot {r}}{\dot {r}}=$${\dot {x}}{\dot {x}}+{\dot {z}}{\dot {z}}$, fit ${\frac {2{\dot {z}}zx-{\dot {x}}z^{2}}{x^{2}}}=-{\dot {x}}$; adeoque regrediendo ad fluentes fit ${\frac {zz}{x}}=-x+a$, quae aequatio est ad circulum diametro $AE=a$ descriptum, ut etiam fieri debuit.

J'ay reçu Monsieur le 24 de ce mois vostre lettre du 17 avec vostre solution du probleme des trajectoires. J'appris le lendemain que M.^r L'abbé de Conty etoit arrivé d'Angleterre. Je savois que m.^r Taylor luy avoit donné pour moy sa solution cachetée, je vis le jour meme m.^r L'abbé de Conty qui me remit le pacquet. Une legere fluxion que j'ay eüe sur les yeux m'a obligé d'avoir recours au P. Reynau vostre ancien ami pour transcrire la solution de Mr. Taylor. Vous en jugerés; je seray ravy d'apprendre ce que vous en penserés. Il auroit du ce me semble apprendre à separer les indeterminées dans cette equation: ${\overline {xdz-zdx}}\times a^{n-1}=x^{n}dr$. Je n'approuve pas non plus ad demonstrationem solutionis nostrae suffecerit exemplum simplicissimum. Je veux croire qu'il a parfaitement reussy, et je le souhaite, car il est mon amy et galant homme. Je le gronderay du nec usu nec difficultate adeo insignis. Cela n'est apparemment ny vray ny sincere; vous le lui rendés, quand vous dites, quod miror cum sit exemplum non adeo difficile. Car pour ce qui suit, et alia suppetant difficiliora, non tamen extra potestatem, je n'en doute point. J'aime bien ce que vous rapportés de Monsieur Frenicle: nec etiam multum convenit mathematico etc. Cela est vray et judicieux. Les prob. les plus difficiles sont ordinairement les moins utiles. Ce que l'on cherche, c'est de perfectioner l'art d'inventer, cet objet est assés beau, et tres digne de l'esprit humain. M.^r Keil manque certainement de Logique lors qu'apres vous avoir reproché de vous etre fort appliqué à la partie la plus inutile des Principes de M.^r Newton, il vous propose la recherche d'un probleme qui est pleinement et totalement de cette espece. Il en faut rire plutost que de s'en facher serieusement comme fait mon amy Monsieur Nicolas Bernoully. Les passions sont injustes, car m.^r Keil a sans doute trop d'esprit, et est trop bon Geometre pour ne vous pas estimer beaucoup, et ne pas admirer l'elegance et l'esprit d'invention qui brille dans tout ce que vous nous donnés. Il est etonnant qu'étant Ecossois il soit si zelé pour les Anglois; il est outré et peu equitable à vostre egard, et à l'egard de feu M.^r Leibnitz. On m'a dit que M.^r Moivre avoit mis la main au memoire qu'il a donné dans les Journaux litteraires sous le titre de deffense de M.^r Newton, il est effectivement bien ecrit, et parfaitement bien fait. J'ay appris qu'il en avoit donné un 2.^e dans ces memes journaux, et qu'il y attaque fortement l'ecrit intitulé Epistola pro Eminente math. etc. Je crois qu'il vous faut attendre que vous aiés vû cet ecrit pour repondre au premier. Je pensois ces jours passés comment je pourrois faire usage du memoire que vous m'avés envoyé, et je trouvois que vostre amy a repondu d'avance dans les Journaux de Leipsick ann. 1716 aux principaux reproches que vous fait M.^r Keil. Il me paroissoit que ce seroit une chose inutile et surabondante de redire ce qu'on a desja dit pour vous, et qu'à l'egard d'un certain nombre de belles choses et qui sont de vostre invention dans ce memoire, personne ne pouvoit se les approprier. Je vous dis cecy selon mes sentiments M.^r et non pour m'excuser de prendre vostre deffense. Je le feray toujours en particulier et en public, lors que cela sera necessaire, et que l'occasion s'en presentera naturellement. J'en auray une bientost de publier ce que je pense de vous, et de tout ce que vous avés fait pour la Geometrie. Si m.^r Leibnitz n'etoit pas mort, il m'auroit donné de bons memoires surtout de ce que les allemands ont contribué à la perfection de la Geometrie, à prendre les choses du plus soing jusqu'aujourdhuy. Vous me ferés plaisir de m'apprendre quelque jour à vostre loisir ce que vous savés et pensés là dessus.

Je ne say rien du nouveau memoire de m.^r Keil, si ce n'est qu'il est vehement et qu'il pretend prouver que vous etes l'autheur du memoire Epistola pro emin. math. etc. et ce fait supposé, vous jugés bien qu'il se donne carriere, et qu'il a beau jeu. Mais quand vous aurés nié ce fait, tout tombera. Vous pourrés soutenir les faits, qui sont vrays, et vous attribuent ce qui vous appartient. Je suis ravi d'apprendre de vous que vous desavoués le reste afin de pouvoir rendre temoignage que vous avés pris ce parti naturelement, avant de savoir la critique qu'on projettoit de ce memoire. Vous avés un grand avantage sur m.^r Keil dans la dispute, c'est la prevention que votre nom donne en votre faveur. La bienseance exige qu'il vous menage, et vous y estes beaucoup moins obligé à son egard. Vostre nom est connu et cheri des Geometres, le sien n'est gueres sorti de l'Angleterre. On dit qu'il va donner un traité d'astronomie qui sera tres clair, et qu'on y trouvera quelque chose de tres beau pour le calcul des Eclypses. M.^r Halley nous va aussi donner une astronomie. M.^r L'abbé de Conty m'a rapporté un livre qui a pour titre Lineae tertii ordinis Newtonianae etc. Auctore Jac. Stirling. L'auteur quoyque jeune est savant, mais les anglois jusqu'icy n'ont pas su faire des Livres. On y reprend m.^r Taylor en un endroit, et je crois que l'on a raison. L'auteur grand Toris a esté chassé d'Angleterre et est à Venise. M.^r vostre Neveu pourra vous en dire des nouvelles. Il y a un nouveau livre d'analyses imprimé à Londres qui paroit assés bon. L'histoire des fluxions coute 14 shelings à Londres, et ne vaut rien, ainsy je ne vous l'envoyeray pas ny à m.^r vostre Neveu qui me l'avoit demandé. Il n'y a de curieux que deux lettres de M.^r Leibnitz à m.^r L'abbé Conty, et deux de M.^r Newton au meme. On m'a encore envoyé un livre in 4.^o en anglois, qui a pour titre Geometrie perfectionnée par une longue et exacte table des segmens des cercles avec les differents usages de cette table pour la solution de divers. probl. difficiles. 2.^o un court traitté du polyedre ou des corps solides qui ont plusieurs bases.

J'attends quelques exemplaires de la solution de m.^r Taylor, celle qu'il m'a envoyée est l'epreuve qu'il corrigeoit en partant de Londres pour les eaux d'Aix la Chapelle où il est à present. Il y a beaucoup de corrections et de renvois sur cette feuille. On m'a assuré que m.^r Newton avoit vu la solution de M.^r Taylor avant qu'elle ait esté imprimée, et qu'il l'avoit approuvée. Je ne say si vous savés que m.^r Newton est l'autheur de celle qui a paru dans les Transactions et dont vous parlés dans votre memoire, c'est une chose publique en Angleterre. On doit m'envoyer quelques exemplaires de ce que j'ay donné à la societé royalle, sur la sommation des suites infinies, je vous en envoyeray aussy tost que j'en auray reçu. M.^r Taylor y a ajouté un memoire de sa façon sur la meme matiere, qui pourra bien n'estre pas entendu. Je me souviens de ce que vous m'avés mandé autrefois touchant l'obscurité impenetrable de son livre Meth. incrementorum. Vous avés bien raison, c'est ramer sur les Galeres que de lire, et de vouloir entendre de tels livres. Pour moy la vengeance que j'en retire si bons qu'ils soient, c'est de les laisser là. Vostre amy met m.^r Taylor au nombre de ceux qui ne citent pas les auteurs dont ils empruntent quelque chose. Il merite moins ce reproche que m.^r Cheinée et surtout Mons. Hayes, qui vous a copié et M.^r de L'Hopital mot à mot. Mais je conviens qu'il le merite un peu. Et il me semble qu'en general c'est assés le defaut des anglois. Je ne say comment m.^r Moivre qui est furieusement anglisé en usera avec moy dans l'edition nouvelle qu'il va donner en anglois de son livre de Mensura sortis. En tout cas je ne m'en soucie gueres. Je ne suis gueres volable, ainsy je ne crains pas les voleurs, mais en general je les hais, et la Rep. des lettres en est pleine. Vous l'avés eprouvé plus qu'un autre. Je me fais un veritable plaisir en composant l'histoire de la Geometrie d'éclairer les larcins, et de restituer à chacun ce qui luy a esté pris. Je pourray me tromper, mais j'espere que on connoitra que je suis sincere, de bonne foy, et sans prevention. A propos de M.^r le marquis de L'Hopital dont nous etions tous deux amis, et dont je viens de parler oserois je vous communiquer une pensée que j'ay. Sur ce que vous avés dit en plusieurs endroits bien des gens ont cru que M.^r le marquis de L'Hopital n'avoit fait tout au plus que donner la forme à L'analyse des infiniments petits, et que c'etoit vostre ouvrage sous son nom. D'autres en plus grand nombre considerants que vous n'avés protesté ny reclamé du vivant de M.^r de L'Hopital, qu'on a de luy d'autres excellents ouvrages, et qu'il a resolu des problemes plus difficiles que ceux qui sont dans L'analyse, croyent que vous en imposés. Ne seroit il pas à propos M.^r que vous missiés à couvert vostre reputation et la sienne. J'en ay imaginé un moyen qui me paroit fort bon. Ce seroit m.^r que vous remissiés à quelqu'un de vos amys le manuscrit original que vous avés apporté en France, et communiqué à m.^r de L'Hopital au Pere Bizance, au P. Reinau, à M.^r de Varignon et peutestre à d'autres, et que vous consentiés que ce manuscrit fut imprimé. On sauroit alors incontestablement et precisement la part que vous et luy avés à cet ouvrage et les grandes decouvertes que vous avés faites dans le nouveau calcul dès sa naissance. Peutestre ce conseil n'est pas bon mais je vous le donne en ami et vous en devez estre assuré.

Il y a deux ou 3 jours que cette lettre est écritte. J'ay differé à la faire partir parceque M.^r Nicolle dont le nom vous est sans doutte connu vouloit y joindre une solution qu'il dit avoir trouvé du prob. de M. Leibnitz. Je scai depuis longtemps qu'il en etoit venu à une equation differentielle du premier degré car il m'a fait voir son calcul, il en etoit à separer les indeterminées. Il me dit il y a 3 jours qu'il comptoit d'en venir à bout et me pria d'attendre un jour ou deux à faire partir cette lettre affin qu'il pust y joindre sa solution qu'il souhaittoit vous envoyer. Il me la promit hyer, elle n'etoit point encore preste. Il me l'a promis pour ce matin et il n'est point venu. Ainsi pour ne plus differer cellecy partira sans sa solution que je vous envoirai separement s'il me l'apporte. Cependant je peux vous assurer qu'il n'a vu ni vostre solution ni celle de M.^r Taylor et qu'il ne verra ni l'une ni l'autre par moy qu'il ne m'ait donné la sienne ou qu'il n'ait renoncé à la trouver. Je suis Monsieur avec le plus parfait attachement Vostre tres humble et tres obeissant serviteur Remond de Monmort

Permettez moy de faire icy mil complimens à M.^r vostre fils.

A Paris ce 3 Avril 1718.

M.^r Nicolle m'apporte sa solution, je la joins au pacquet, vous en jugerez.

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