Scheuchzer, Johannes an Bernoulli, Johann I (1709.11.03)

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Autor	Scheuchzer, Johannes, 1684-1738
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Zürich
Datum	1709.11.03
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 668, Nr. 40*
Fussnote

Vir Celeberrime Excellentissime

Fautor Honoratissime

En responsorias Schmutzij nostri,^[1] concernentes Tubum Opticum qualem tu fieri Optas, jubebis, si placet Schmutzij oblatio, sin minus, poteris alias vel conditiones, vel Regulas praescribere, quas ut sequar, summo cum studio annitar.

Interim et nunc rationem reddo meorum in calculo Algebraico progressuum, teque de novo fatigare coactus sum: pauperrima ingenij mei suppellex concipere nequit ea quae habet Guisneus pag. XXX, XXXI etc.^[2] ubi agit de extrahendis Radicibus ope formulae $p^{m}+$ $mp^{m-1}q$ ubi loco $q$ et $p$ , substituere jubet quantitates vel terminos quantitatis propositae, scil. non capio rationem cur loco $mp^{m-1}q$ ex quantitate $a^{3}-3aab+3abb-b^{3}$ substitui debeat $ma^{3m-3}$ pro Extrahenda Radice cubica, id est cur loco $m-1$ etc. debeat poni $m-3$ etc.,^[3] sic etiam pag. XXXII cur loco $mp^{m-1}q$ debeat poni ex quantitate $9aa+12ab+4bb$ , $mq^{m-1}$ , nempe cur τὸ $q$ debeat habere pro exponente suo $m-1$ et cur pro exponente $m-1$ debeat poni exponens $a^{2m-2}$ rogo ut me ex hocce labyrintho educas.^[4]

Caeterum, ut videtur, oblata mihi est occasio cum Scheuchzero juvene illo qui Sua Tibi dicat obsequia, in exteras Regiones proficiscendi^[5], quam equidem arripere nullus dubitavi, dabitur etenim simul occasio Viros hujus seculi eruditissimos videndi, mihique patronos plurimos conciliandi. His autem Vir Celeberrime Vale et favere perge Celeberrimi Excell.^mi Nominis Tui Cultorem devotissimum Johannem Scheuchzerum. M. D.^rem

Tiguri d. 3. Novemb. 1709.

Versaliam meo nomine pluries valere jube.^[6]

Fussnoten

↑ Dieser Brief von Kaspar Schmutz ist anscheinend nicht erhalten.
↑ Guisnée, [Nicolas], Application de l’algèbre à la géométrie, ou Méthode de démontrer par l’algèbre, les théorèmes de géométrie, et d’en résoudre et construire tous les problèmes. L’on y a joint une Introduction qui contient les règles du calcul algebrique, Paris (J. Boudot/J. Quillau) 1705.
↑ Guisnée führt auf pp. XXX-XXXI in einem "Exemple I" vor, wie man nach seiner Methode eine dritte Wurzel des Polynoms $a^{3}-3aab+3abb-b^{3}$ bestimmen kann. Dazu verwandelt er das Polynom durch die hier angegebenen Substitutionen in ein Binom, das er zunächst allgemein in die m-te Potenz erhebt. Mit Hilfe der von ihm auf p. XIII, c. 30 vorgestellten, allgemeinen binomischen Formel entwickelt er dieses Binom in eine unendliche Reihe. Von dieser unendlichen Reihe betrachtet er nun lediglich die beiden ersten Summanden mit der Begründung: "[C]ar les autres termes sont inutiles, lorsque les racines qu'on veut extraire, sont rationelles". Guisnée erhält so $(a^{3}-3aab+3abb-b^{3})^{m}=(p+q)^{m}=$ $p^{m}+$ $mp^{m-1}q$ = $a^{3m}+ma^{3(m-1)}q=a^{3m}+ma^{3m-3}q$ . Er setzt sodann $m={\frac {1}{3}}$ ein und erhält $(a^{3}-3aab+3abundb-b^{3})^{\frac {1}{3}}=a+{\frac {1}{3}}a^{-2}(-3aab+3abb-b^{3})=a-a^{-2}a^{2}b+a^{-1}b^{2}-{\frac {1}{3}}a^{-2}b^{3}$ . Jetzt erklärt er, "le troisième et le quatrième terme sont nuls", und erhält so ${\sqrt[{3}]{a^{3}-3aab+3abb-b^{3}}}=a-b$ . Johannes Scheuchzer unterlief beim Nachvollzug von Guisnées Rechnungen der Fehler, beim Potenzieren mit $3$ den Exponenten $3(m-1)$ des zweiten Terms in $m-3$ statt in $3m-3$ aufgelöst zu haben, was ihn zu seiner hier gestellten Frage an Johann I Bernoulli veranlasst. Bernoulli beantwortet diese in seinem nächsten Brief von 1709.11.13. Gleichzeitig weist er dort auf das unbegründete Vorgehen Guisnées beim Weglassen der Glieder höherer Ordnung in der binomischen Reihe hin und auf dessen vorausgesetzte, aber nicht immer erfüllbare Annahme der Rationalität der gesuchten dritten Wurzel. Dass Guisnée nicht sofort erkennt, dass $a^{3}-3aab+3abb-b^{3}=(a-b)^{3}$ , also die dritte Wurzel gleich $a-b$ ist, mag daran liegen, dass er bei seinen Leser noch keine Vertrautheit mit der binomischen Formel voraussetzen kann. Oder es ist auf sein allerdings vergebliches Bemühen um die Vermittlung eines allgemeinen Verfahrens zur Radizierung eines Polynoms zurückzuführen. (Fritz Nagel)
↑ Die Bestimmung einer dritten Wurzel aus \foreignlanguage[LaTeX!]{english}{ $9aa+12ab+4bb$ } wird von Guisnée im "Exemple II" auf p. XXXII in analoger Weise wie im "Exemple I" durchgeführt. Johannes Scheuchzer erkennt dabei wiederum nicht, dass der Exponent von $q$ nicht einfach durch $2m-2$ ersetzt wird, sondern das $m-1$ beim Quadrieren des Binoms mit $2$ zu multiplizieren ist, also $2m-2$ ergibt.
↑ Im Manuskript steht "poficiscendi".
↑ Scheuchzer vermutet Giuseppe Verzaglia offenbar noch in Basel, wo er seit April 1704 bis zu seiner heimlichen Abreise Ende 1709 als Hausgast von Johann I Bernoulli weilte. Verzaglias Aufenthalt hinterliess bei Johann Bernoulli traumatische Spuren, der den Namen Verzaglias erst wieder im Jahre 1712 erwähnen wird, und zwar mit grösster Abscheu. Vgl. Johann I Bernoulli an Johannes Scheuchzer von 1712.01.13.

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[1] Dieser Brief von Kaspar Schmutz ist anscheinend nicht erhalten.

[2] Guisnée, [Nicolas], Application de l’algèbre à la géométrie, ou Méthode de démontrer par l’algèbre, les théorèmes de géométrie, et d’en résoudre et construire tous les problèmes. L’on y a joint une Introduction qui contient les règles du calcul algebrique, Paris (J. Boudot/J. Quillau) 1705.

[3] Guisnée führt auf pp. XXX-XXXI in einem "Exemple I" vor, wie man nach seiner Methode eine dritte Wurzel des Polynoms $a^{3}-3aab+3abb-b^{3}$ bestimmen kann. Dazu verwandelt er das Polynom durch die hier angegebenen Substitutionen in ein Binom, das er zunächst allgemein in die m-te Potenz erhebt. Mit Hilfe der von ihm auf p. XIII, c. 30 vorgestellten, allgemeinen binomischen Formel entwickelt er dieses Binom in eine unendliche Reihe. Von dieser unendlichen Reihe betrachtet er nun lediglich die beiden ersten Summanden mit der Begründung: "[C]ar les autres termes sont inutiles, lorsque les racines qu'on veut extraire, sont rationelles". Guisnée erhält so $(a^{3}-3aab+3abb-b^{3})^{m}=(p+q)^{m}=$ $p^{m}+$ $mp^{m-1}q$ = $a^{3m}+ma^{3(m-1)}q=a^{3m}+ma^{3m-3}q$ . Er setzt sodann $m={\frac {1}{3}}$ ein und erhält $(a^{3}-3aab+3abundb-b^{3})^{\frac {1}{3}}=a+{\frac {1}{3}}a^{-2}(-3aab+3abb-b^{3})=a-a^{-2}a^{2}b+a^{-1}b^{2}-{\frac {1}{3}}a^{-2}b^{3}$ . Jetzt erklärt er, "le troisième et le quatrième terme sont nuls", und erhält so ${\sqrt[{3}]{a^{3}-3aab+3abb-b^{3}}}=a-b$ . Johannes Scheuchzer unterlief beim Nachvollzug von Guisnées Rechnungen der Fehler, beim Potenzieren mit $3$ den Exponenten $3(m-1)$ des zweiten Terms in $m-3$ statt in $3m-3$ aufgelöst zu haben, was ihn zu seiner hier gestellten Frage an Johann I Bernoulli veranlasst. Bernoulli beantwortet diese in seinem nächsten Brief von 1709.11.13. Gleichzeitig weist er dort auf das unbegründete Vorgehen Guisnées beim Weglassen der Glieder höherer Ordnung in der binomischen Reihe hin und auf dessen vorausgesetzte, aber nicht immer erfüllbare Annahme der Rationalität der gesuchten dritten Wurzel. Dass Guisnée nicht sofort erkennt, dass $a^{3}-3aab+3abb-b^{3}=(a-b)^{3}$ , also die dritte Wurzel gleich $a-b$ ist, mag daran liegen, dass er bei seinen Leser noch keine Vertrautheit mit der binomischen Formel voraussetzen kann. Oder es ist auf sein allerdings vergebliches Bemühen um die Vermittlung eines allgemeinen Verfahrens zur Radizierung eines Polynoms zurückzuführen. (Fritz Nagel)

[4] Die Bestimmung einer dritten Wurzel aus \foreignlanguage[LaTeX!]{english}{ $9aa+12ab+4bb$ } wird von Guisnée im "Exemple II" auf p. XXXII in analoger Weise wie im "Exemple I" durchgeführt. Johannes Scheuchzer erkennt dabei wiederum nicht, dass der Exponent von $q$ nicht einfach durch $2m-2$ ersetzt wird, sondern das $m-1$ beim Quadrieren des Binoms mit $2$ zu multiplizieren ist, also $2m-2$ ergibt.

[5] Im Manuskript steht "poficiscendi".

[6] Scheuchzer vermutet Giuseppe Verzaglia offenbar noch in Basel, wo er seit April 1704 bis zu seiner heimlichen Abreise Ende 1709 als Hausgast von Johann I Bernoulli weilte. Verzaglias Aufenthalt hinterliess bei Johann Bernoulli traumatische Spuren, der den Namen Verzaglias erst wieder im Jahre 1712 erwähnen wird, und zwar mit grösster Abscheu. Vgl. Johann I Bernoulli an Johannes Scheuchzer von 1712.01.13.

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Scheuchzer, Johannes an Bernoulli, Johann I (1709.11.03)

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