Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1714.09.06)

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Autor	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Montmort
Datum	1714.09.06
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.9a*
Fussnote	Am Briefkopf von anderer Hand "6 Août 1714". Dann Août gestrichen und mit Bleistift durch "Sept." ersetzt. Marginalie zum Datum am Briefende vor dem PS (ev. von Joh. III B.): "Iln'y a plus de doute que ce ne soit cette date qui est fautive; comme on verra par la suite: il faut le 6e Septembre."

Demandes

1.^ere La force des corps c'est leur quantité de mouvement, la quantité de mouvement d'un corp c'est le produit de sa masse par sa vitesse et dans l'equilibre de deux mouvemens contraires les forces sont le produit des masses par les vitesses respectives que chacun des corps tend à avoir par la disposition de la machine.

2.^e Si la ligne $BF$ [Figur folgt] exprime la vitesse avec laquelle le corp $G$ s'approche du plan $AD$, la force avec laquelle le plan sera choqué par le corp $G$ sera $G\times BF$ et si un autre corp $E$ vient frapper le meme plan avec une autre vitesse exprimée par la ligne $CH$ le rapport de l'impression faitte par le corp $E$ sera à l'impression faitte par le corp $G::E\times CH:.G\times FB$ ensorte que si le poid $E$ est au poid $G$ en raison reciproque des vitesses c'est à dire $::FB.CH$ et qu'une de ces forces soit opposée à l'autre c'est à dire employée en sens contraire le plan $AD$ restera immobile.

On voit que dans l'action d'un corp sur un autre il y a deux choses à considerer, la masse du mobile et sa vitesse ensorte que les poids $G$ et $E$ etant inegaux comme l'on voudra et frappant perpendiculairement le plan $AD$ en sens contraire, la raison reciproque des vitesses produira de part et d'autre égalité d'action, c'est là le grand principe des Mechaniques auquel il faut tout rapporter.

3.^eme Une superficie ne recoit d'impression que selon une direction perpendiculaire, ainsi pour connoitre l'impression que fait sur un plan un agent qui pousse obliquement il faut comparer cette impression à celle que feroit le meme agent s'il poussoit selon une direction perpendiculaire à ce plan.

Lemme

Deux corps $M$ et $N$ qui ont une égale vitesse viennent frapper le plan $BD$ scavoir le corps $N$ en suivant la ligne $NC$ perpendiculaire au plan et le corps $M$ en suivant la ligne oblique $CM$, on demande quel sera le rapport de l'impression que fera le corp $M$ sur le plan $BD$ à l'impression qu'y fera le corp $N$.

Solution

De l'extremité de la ligne oblique $CM$ qui exprime la vitesse absolue des deux corps $M$ et $N$ soit abbaissée sur le plan la perpendiculaire $MD$.[Figur folgt] Je dis que l'impression faitte par le corp $M$ sera à l'impression faitte par le corp $N::M\times MD.N\times MC$.

Demonstration

Si nous supposons d'abord les masses $M$ et $N$ égales il est evident que la difference des impressions ou des forces appliquées ne peut venir que de la difference des vitesses relatives ensorte qu'il ne s'agit que de decouvrir la raison de ces vitesses relatives. Or le principe de la composition des mouvemens apprend que les corps étant égaux l'impression perpendiculaire du corps $N$ est à l'impression faitte par le corp qui frappe obliquement, dans la raison du rayon au sinus de l'angle d'incidence.

Ce principe de la composition des mouvemens est recu de tout le monde mais c'est un principe d'erreur pour un grand nombre de Geometres qui confondent les forces avec les masses ou avec les vitesses. Ce qu'il y a de certain et dont on a seulement besoin icy c'est qu'un corp qui va rencontrer le plan $CD$ dans une direction oblique $CM$ peut estre regard[é] comme ayant deux determinations l'une parallele l'autre perpendiculaire puisqu'il tend à s'avancer et qu'effectivement il s'avance en meme temps vers le point $H$ et vers le plan $BD$ et que ce plan n'est frappé par le corp $M$ que selon cette derniere determination, l'autre luy etant entierement inutile pour s'approcher du plan ensorte qu'il la faut compter pour nulle. D'où il suit que le corp $M$ ne frappe pas le plan avec sa vitesse absolue $CM$ mais avec sa vitesse relative $MD$ qui est à $CM$ comme le sinus est au Rayon, enfin si les masses sont inegales, il est clair que l'impression du poid $M$ sera à l'impression du poid $N::M\times MD.N\times CM$ puisque par la 1.^ere demande la force avec laquelle un corp en mouvement choque un plan est le produit de sa masse par sa vitesse vers ce plan.

Corollaire 1.^er

Les forces avec lesquelles le plan sera choqué seront egales si $N.M::MD\,MC$.

Corollaire 2.^e

Si $BK=5$, $BL=10$, $BM=13$

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline KL=9&MF={\frac {78}{61}}{\sqrt {14}}&fM={\frac {12}{5}}{\sqrt {14}}\\\hline LR=1{\frac {1}{5}}&MG={\frac {156}{47}}{\sqrt {14}}&Md=6{\frac {66}{325}}\\\hline BR=12{\frac {1}{5}}&GB=17{\frac {46}{47}}&Bd=6{\frac {250}{325}}\\\hline MR={\frac {6}{5}}{\sqrt {14}}&BF=13{\frac {52}{61}}&uM=1{\frac {179}{325}}\\\hline Bm=10{\frac {40}{61}}&Gf=8{\frac {136}{235}}&Bu=11{\frac {146}{325}}\\\hline mL={\frac {60}{61}}{\sqrt {14}}&Bf=9{\frac {2}{5}}&BH=9{\frac {5}{13}}\\\hline Mm=2{\frac {21}{61}}&Bh=7{\frac {43}{61}}&\\\hline BI=MH=3{\frac {8}{13}}&&\\\hline IM=9{\frac {5}{13}}&&\\\hline [..]=[.]I={\frac {12}{13}}{\sqrt {14}}&&\\\hline \end{array}}$

$KL=9$

$LR=1{\frac {1}{5}}$

$BR=12{\frac {1}{5}}$

$MR={\frac {6}{5}}{\sqrt {14}}$

$Bm=10{\frac {40}{61}}$

$mL={\frac {60}{61}}{\sqrt {14}}$

$Mm=2{\frac {21}{61}}$

$BI=MH=3{\frac {8}{13}}$

$IM=9{\frac {5}{13}}$

$[..]=[.]I={\frac {12}{13}}{\sqrt {14}}$

$MF={\frac {78}{61}}{\sqrt {14}}$

$MG={\frac {156}{47}}{\sqrt {14}}$

$GB=17{\frac {46}{47}}$

$BF=13{\frac {52}{61}}$

$Gf=8{\frac {136}{285}}$

$Bf=9{\frac {2}{5}}$

$Bh=7{\frac {43}{61}}$

$fM={\frac {12}{5}}{\sqrt {14}}$

$Md=6{\frac {66}{325}}$

$Bd=6{\frac {250}{325}}$

$uM=1{\frac {179}{325}}$

$Bu=11{\frac {146}{325}}$

$BH=9{\frac {5}{13}}$

Du lemme precedent suit evidemment la necessité de l'equilibre dans le cas de la fig. cy jointe [Figur folgt] où l'on suppose que les poids en $N$, $B$, $O$ sont dans le rapport des lignes $BK$, $BI+BH$, $BL$ car les vitesses communes et absolues des 4 poids (au lieu d'un seul poid en $B$ comme $BM$ j'en peux supposer deux, l'un $BI$, l'autre $BH$) la vitesse relative du poid en $N$ est $Bf$, celle du poid $BI$ en $B$ est $BM$, celle du poid $BH$ en $B$ est $BM$, et enfin celle du poid $O$ est $BR$ ensorte que l'impression que le poid $N$ fait sur le plan $Pp$ par la 3.^eme demande et le lemme est $=BK\times Bf$, celle du poid $BI$ est $BI\times BM$, celle du poid $BH$ est $BH\times BM$ et enfin celle du poid $O$ est $=BL\times BR$ et ainsi le rapport des trois forces appliquées perpendiculairement au plan $Pp$ est $BK\times Bf$, ${\overline {BI+BH}}\times BM$ ou $BM^{2}$, $BL\times BR$. Or $BR\times Bf+BL\times BR$ est $=BM^{2}$ car par les triangles semblables on a d'une part $Bf.BI::BM.BK$ et de l'autre $BL.BH::BM.BR$ donc les deux poids en $B$ agissants en sens contraire il y a equilibre.

Ex. Soit $BK=5$, $BL=10$, $KL=9$ ce qui donne $BM=13$. On trouve le rapport des trois impressions comme $5\times {\frac {47}{5}}$, ${\overline {{\frac {47}{13}}+{\frac {122}{13}}}}\times 13$, $10\times {\frac {61}{5}}$ ou comme 47, 169, 122 ou si l'on veut comme $BK\times Bh$, $BI\times Bm+BH$$\times Bm$, $BL^{2}$ en substituant les trois lignes $Bh$, $Bm$, $BL$ aux trois lignes $Bf$, $BM$, $BR$ qui leurs sont proportionelles.

On peut encore demontrer autrement l'equilibre des trois poids, et le rapport trouvé, $BK\times Bf$, ${\overline {BI+BH}}\times BM$, $BL\times BR$, car regardant la ligne $GB$ comme un plan incliné l'on scait que l'impression qu'un corp appuyé sur le plan incliné $BG$ fait sur le plan $Pp$ est à l'effort que ce meme corp y feroit s'il etoit appuyé perpendiculairement sur ce plan $Pp::GM.GB$, comme la longueur à la hauteur du plan incliné. Et par consequent l'impression qu'un corp $BK$ appuyé sur le plan $BG$ fait sur le plan $Pp$ est à l'effort que fait sur ce plan un corp $BI$ qui y appuye perpendiculairement $::BK\times BM.BI\times BG$. Mais par les triangles semblables $BG.BM::BM.Bf$ donc si l'on met dans ce 1^er rapport des impressions pour $BG$ sa valeur ${\frac {BM^{2}}{Bf}}$ on aura $::BK\times BM.BI\times {\frac {BM^{2}}{Bf}}::BK\times Bf.BI\times BM$. Il en est de meme du rapport qui exprime l'impression du poid $BL$.

Corollaire 3.^eme

Si deux corps $N$ et $O$ dont les masses soient $BK$ et $BL$ par Ex. 5 et 10 viennent dans les directions $BK$ et $BL$ heurter le point $B$ avec des vitesses égales et qu'un corps dont la masse soit $BM=13$ vienne heurter en meme temps et en sens contraire le meme point $B$ avec la meme vitesse, les trois corps resteront en équilibre au point $B$ et ce qui est la meme chose si le corp dont la masse est $BM$ est supposé en repos et qu'il soit choqué par deux corps dont les masses soient dans la raison des cotés d'un parallelogramme, le corp $BM$ decrira une ligne égale à la diagonale de ce parallelogramme qui exprimera la vitesse avec laquelle ces deux corps pousseront le 3.^eme. Et par la meme raison si les vitesses sont comme les trois lignes $BK$, $BM$, $BL$ les trois corps etant egaux il y aura equilibre ensorte que generallement et par le lemme si deux corps $M$ et $N$ qui vont avec des vitesses absolues exprimées par les cotés d'un parallelogramme quelconque, en rencontrent un autre quelconque $\omega$ en repos ils luy feront parcourir un espace $={\frac {M\times BI+N\times BH}{\omega }}$ dans le meme temps que les corps $M$ et $N$ auroient parcouru les cotés $BK$ et $BL$ ($BI$ et $BH$ sont les vitesses relatives des vitesses absolues $BK$ et $BL$) d'où suit pour la supposition des trois poids égaux la verité du theoreme de M.^r Newton corpus conjunctis viribus diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere quo latera separatis.

Corollaire 4.^eme

Si l'angle est droit les points $f$, $h$, $K$ se confondent et les lignes $BK$, $Bh$, $Bf$ deviennent un des cotés du parallelogramme rectangle,[Figur folgt] l'autre coté etant $BL$ ou $BR$ ensorte que le rapport $BK\times Bf$, $BM^{2}$, $BL\times BR$ se change en celuy cy $BK^{2}$, $BM^{2}$, $BL^{2}$ que M.^r R. a demontré d'une maniere qui me paroist tout-à-fait convaincante dans l'equilibre des trois poids et par consequent il est tres vray que deux masses qui viendront heurter le plan $Pp$ au point $B$ dans des directions telles que l'angle $KBL$ soit droit et avec des vitesses te[lles] que l'impression perpendiculaire de l'une soit $BK^{2}$ et l'impression perpendiculaire de l'autre $BL^{2}$ il est dis je tres vray qu'elles feront équilibre avec une force $=BM^{2}=BL^{2}+BK^{2}$ qui viendra frapper perpendiculairement le plan $Pp$ au point $B$.

Corollaire 5.

De ce que l'on trouve les forces dans le rapport $BK^{2}$, $BM^{2}$, $BL^{2}$ dans l'équilibre des trois poids pour le cas de l'angle droit, on en doit seulement conclure qu'il y a équilibre entre trois agents lorsque l'impression perpendiculaire de l'un étant comme le quarré de la diagonale l'impression perpendiculaire des deux agents qui frappent obliquement formant ensemble un angle droit est comme les quarrés de deux autres cotés, et il me paroist qu'on n'en doit pas conclure comme a fait M. R. qu'un vent comme $BK$ allant avec la vitesse $BK$ selon la direction $BK$ et un vent comme $BL$ avec la vitesse $BL$ selon la direction $BL$ il resulte de l'impression de ces deux vents une impression $=BM^{2}$, dans la direction $BM$.

Par Ex. Soit le vent $BK$ comme $BK$ frappant selon $BK$ avec la vitesse $BK$ la voile $aBc$ [Figur folgt] et le vent $LB$ frappant avec la vitesse $LB$ selon $LB$ la meme voile $aBc$, l'impression du vent $BK$ sur la voile $ABC$ est $BK^{2}=9$ mais elle n'est que $BK\times BI={\frac {27}{5}}$ sur la voile $aBc$ et de meme l'impression du vent $LB$ sur la voile $EBD$ est $LB^{2}=16$ mais elle n'est que ${\frac {64}{5}}=BL\times BH$ sur la voile $aBc$. Or la somme de ces deux impressions sur la voile $aBc$ qui est $BK\times BI+BL\times BH={\frac {91}{5}}=18{\frac {1}{5}}$ nest pas égale à l'impression du vent $MB$ sur la voile $aBc$ laquelle est $BM^{2}=25$. ${\sqrt {\frac {91}{5}}}$ est la vitesse resultante des deux forces, et un vent ${\sqrt {\frac {91}{5}}}$ qui auroit cette vitesse tiendroit la voile $aBc$ en équilibre.

Si les masses etant comme les vitesses la vitesse $BK$ etoit $=3$ et la vitesse $BL$ etoit 5, alors les efforts des deux vents seroient plus grands que 25, mais l'exces en seroit fort petit car on auroit pour la somme de ces deux impressions ${\frac {27+125}{\sqrt {34}}}=25+-$.

J'ay trouvé que si deux Corps $A$ et $B$ tels que $A$ ait trois degrés de masse et $B$, 4, viennent heurter selon les directions $BK$ et $BL$ en un point un corp $C$ avec des vitesses absolües qui soient ${\sqrt {22}}$ et ${\sqrt {28}}$ le corp $C$ recevra une vitesse $=5$. Mais si l'on veut que les masses soient comme les vitesses ce qui a lieu dans les fluides et que l'on demande quelles doivent estre les vitesses des vents $BK$ et $BL$ qui feroient ensemble sur la voile $aBc$ une impression $=aa$, soit $y$ la grandeur cherchée du vent selon $BK$, $z$ la grandeur cherchée de la vitesse du vent selon $BL$, $bb$ un quarré donné on aura ces deux égalites: ${\frac {y^{3}}{\sqrt {zz+yy}}}=bb$ et ${\frac {z^{3}}{\sqrt {zz+yy}}}=aa-bb$. On tirera de ces deux équations les valeurs des cotés du parallelogramme desiré et reciproquement ces cotés etant donnés on aura $BM^{2}$ dont la racine sera la vitesse.

Conclusion.

Le vent $MB$ poussant la voile $aBc$ perpendiculairement avec une force $=BM^{2}$ M. R. pretend que l'impression qu'il fait alors vers $BK$ est $BK^{2}$ et vers $BL$, $BL^{2}$. Il me paroist evident par le lemme que de l'impression $BM^{2}$ sur la voile $aBc$ il n'en resulte qu'une impression $=BM\times BK$ vers $BK$ et une impression $=BM\times BL$ vers $Bl$ et qu'ainsi le rapport des impressions faitte par le vent $MB$ vers les trois cotés est $BM\times BK$, $BM\times BM$, $BM\times BL$ c'est à dire comme les trois cotés $BK$, $BM$, $BL$, ainsi que le pretendent M.^rs Huygens et Bernoulli.

Pour le prouver soit du point $B$ comme centre et de $MB$ rayon decrit un arc de cercle $MG$ qui couppe $BK$ prolongé en $G$ et du point $G$ abaissé sur le plan $Rr$ de la voile $aBc$ la perpendiculaire $GQ$, la ligne $GQ$ exprime la vitesse relative du vent $MB$ sur la voile $ABC$. Or à cause des triangles semblables $GQ$ est $=BK$ donc l'impression d'un corp sur un plan étant le produit de sa masse par la vitesse relative l'impression du vent $MB$ qui est $MB^{2}$ sur le plan $aBc$ n'est que $BM\times BK$ sur le plan $ABC$ conformement à ce que pretend M.^r Bernoulli d'où il suit que sa vitesse vers $BK$ sera ${\sqrt {BK\times BM}}$ ce qu'il falloit trouver.

A Monmort ce 6 Aoust 1714

Voila M.^r ce que je vous ai promis sur le sujet de vostre dispute avec M.^r Renau. Sa demonstration pour l'equilibre des trois poids m'avoit d'abord frappé et j'avois jugé precipitament que la conclusion qu'il en tire etoit bonne. Voila ce que je pense à present j'envoye le double de cecy à M.^r le ch. Renau. Peut-estre y decouvrirat-il la cause de son erreur si tant est que je ne me sois pas trompé moy meme car je n'ai presque pas le temps de penser et je n'ai travaillé sur cette matiere que parceque j'etois etonné et scandalizé de voir tous les Geometres de Paris partagés sur une matiere qui ne paroist pas fort difficile et plus encore parceque M. Renau m'en a fort prié. Un de mes amis à qui j'avois preté vostre livre ne me l'a point rendu avant mon depart de Paris, c'est ce qui est cause que je ne suis point entré icy dans l'examen de plusieurs choses qui ont rapport à la dispute. En attendant que je puisse pousser mes reflexions je serai ravi d'apprendre ce que vous pensez de ce petit memoire. Corrigez moy, instruisez moy et soyez sur que vous ne scauriez avoir un disciple plus humble. Si vous en estes content faittes en part à M.^r vostre Neveu que j'embrasse de tout mon coeur et à qui pourtant je reproche sa paresse. Vous scavez sans doutte qu'il y a dans les journaux de Leipsic de l'année derniere un morceau pour soutenir le sentiment de M. Renau.

R. d. M.

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Fussnoten

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