Bernoulli, Johann I an Montmort, Pierre Rémond de (1719.01.26)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Ort	Basel
Datum	1719.01.26
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.13
Fussnote	Datum und "à Mr. de Monmort" am Briefkopf sowie Textkorrektur eigenhändig. Am Kopf von S.4 von fremder Hand "vid. Opp. Omn. T.II p.399". Ein Auszug des Briefes wurde von Montmort an Brook Taylor übermittelt.

Bâle ce 26. Janv. 1719.

Monsieur

Malgré les occupations pressantes dont je suis accablé depuis quelque tems et qui m'ont empeché de Vous faire reponse sur Vos lettres, je me derobe quelques momens de tems pour Vous ecrire celle ci dont je veux bien accompagner celle que mon fils Vous ecrit par mon ordre, me reservant de repondre plus amplement, quand j'aurai du loisir. Vous dites que Mr. Taylor dans une lettre du 6. Nov. Style Ancien, c'est à dire du 17 Nov. style Nouveau, Vous a mandé qu'il a resolu le probleme qui m'a eté proposé par Mr. Keil et qu'il Vous a envoyé sa solution sous ce chiffre ($r^{4}-1+4nrr+4ur^{2}$); Mr. Taylor est donc le seul en Angleterre, qui ait pu resoudre ce probleme, et cela 17 jours aprés le 1. de Novembre qui etoit le dernier terme que j'avois accordé à Mr. Keil pour resoudre ce probleme que Lui meme m'a proposé; Voici ma solution que je Vous envoie, mais Vous la garderés et n'en ferés part à personne, jusqu'à ce que Mr. Taylor Vous ait envoié la clef de son chiffre. Cependant c'est de Keil mon provocateur que j'attendois une solution; quelle honte pour ce fanfaron de m'avoir provoqué en lice, et de n'oser pas comparoitre pendant que je l'attens au rendes-Vous: Qu'il se retracte donc de sa provocation, et qu'il me donne la satisfaction de l'entendre chanter misericorde et de demander pardon, ou bien je le traduirai devant le Tribunal de l'univers: quelle lacheté de me faire des propositions, que le proposant lui meme se sent incapable de remplir, pendant que je leur satisfais au delà de leur contenu. Comment un tel poltrone, qui n'a autre merite que celui de sçavoir crier et injurier en crocheteur, ose se vanter de me vouloir terrasser. Il me semble que les veritables Mathematiciens d'Angleterre comme sont Mssrs. Newton, Halley, Taylor, etc. le devroient chasser de leur Societé, comme firent les Paons à la Corneille, qui s'etoit parée de leurs depouilles. J'estime Mr. Taylor pour le genie tout particulier qu'il fait paroitre dans ses productions, je Vous prie de lui faire mes complimens et de lui dire que je lui offre mon amitié, s'il la daigne accepter, mais que je l'exhorte de s'abstenir à l'avenir de ces sortes d'expressions dont il s'est servi dernierement dans l'exorde de sa solution des trajectoires, imprimée dans les Transactions, par ce que ces expressions là marquent trop de mépris pour nous autres etrangers, et avec cela une aigreur indecente à un honnete homme. Si Mr. Taylor veut entrer avec moi en discussion sur des affaires de Mathematiques, mais d'une maniere honnete et paisible, je promets de repondre avec tous les egards pour lui: mais que Keil se taise, aussi voit on fort bien que tout ce qu'il produit de realité, vient de la suggestion des autres, rien n'etant de son crû, que les grossieres injures et la rusticité; c'est pourquoi il n'obtiendra jamais, comme je l'ai declaré publiquement, que je reponde aux invectives qu'il vomit contre moi. Quant à la reduction à la quadrature du cercle ou de l'Hyperbole de l'integrale de cette quantité ${\frac {z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}}{e+fz^{q}+gz^{2q}}}dz$, ou de cett'autre ${\frac {z^{{\frac {\delta }{\lambda }}q-1}}{e+fz^{q}+gz^{2q}+hz^{3q}}}dz$; que Mr. Taylor propose aux Geometres de l'Europe; il me semble qu'il seroit juste de m'exemter aussi bien qu'il exemte Mr. Newton, et de nous laisser reposer l'un comme l'autre à l'ombre de nos lauriers (ce sont Monsieur Vos expressions), d'autant plus qu'il n'y a je crois personne qui ait plus travaillé que moi sur la matiere des reductions; c'est sans doute de mes travaux memes que Mr. Taylor profite presentement, et s'il a poussé plus loin mes productions il m'en devroit sçavoir gré plutot que de me braver, par ce que je lui ai rompu la glace, sans quoi il n'auroit peutetre pas pensé à ces choses là. Si Vous voulés prendre la peine de lire ce que j'ai communiqué autre fois dans les Memoires de 1702 et dans les Actes de Leipsic de 1703 pour integrer les fractions rationelles (ce qui Vous a extremement plu si je m'en souviens bien) Vous avouerés, qu'il y a beaucoup d'apparence, que Mr. Taylor ne se sera point servi d'autre methode que de celle que j'y ai enseignée; et que tout ce qu'il aura trouvé de surcroit, ce sera peutetre quelque modification de ma methode pour empecher qu'on ne tombe en des limitations par les racines imaginaires pour ses exemples proposés; or je me fai fort de trouver aussi une telle modification et si Mr. Taylor doute de ma capacité, il n'a qu'à en faire l'epreuve, je ne veux point de recompense de lui, car je n'ai jamais non plus offert des prix d'argent lorsque j'ai proposé quelques problemes, mais je veux parier avec lui que je resoudrai son probleme de la maniere qu'il le souhaite, c'est à dire, sans racines imaginaires: Nous remettrons donc chacun entre Vos mains une somme d'argent, par exemple, 50 Guinés, que si je Vous envoie ma solution, dont Vous serés le juge si elle est juste, dans un tems dont il sera convenu, Vous me renverrés mes 50 Guinés avec les 50 Guinés de Mr. Taylor qu'il aura perdu, mais si je ne donne point de solution legitime dans le tems à stipuler, je consentirai que Vous remettiés à Mr. Taylor tous les 100 Guinés. Je m'engage à lui rendre la pareille, c'est à dire, que de mon coté je lui proposerai aussi un probleme, dont je possede la solution, et nous parierons de meme, ensorte que s'il en donne la solution, il gagnera de moi 50 Guinés, mais s'il ne la donne pas dans un tems stipulé, il en perdra autant. Je me soumets comme j'ai dit, à Votre judicature, parce que je sçai que Vous etes juge integre et connoissant. Faites cette proposition à Mr. Taylor; Il l'acceptera infailliblement, n'y ayant qu'à gagner pour lui et rien à perdre, puisqu'il pretend etre plus habile Analyste que moi. C'est là le parti le plus court à prendre, pour n'etre plus inquieté inutilement par de nouveaux problemes: Car pour Vous dire franchement la mauvaise foi et les manieres grossieres de Mr. Keil me rebutent tellement, que peu s'en faut que je ne renonce à tout commerce et aux Mathematiques memes, voiant que pour tout remerciment je n'en remporte que chagrin et inquietude, au lieu de repos qui me seroit si necessaire dans le declin de mon age. Il m'a proposé un probleme que pas un des Anglois n'avoit encore resolu, c'est qui est contre la bienseance, cependant je l'ai resolu et beaucoup plus generalement qu'on ne demandoit; Vous l'avés fait annoncer à Mr. Keil; il repond que je veux faire diversion au point capital de la dispute qui est de sçavoir quel est l'inventeur du calcul infinitesimal; or je me moque de cette dispute je lui permettrai d'en croire ce qu'il voudra, et j'en croirai aussi ce qui me plaira; si c'est lui ou moi qui croit plus juste le monde n'en deviendra pas plus sçavant pour cela; mais quelle impertinence, je Vous prie, de dire que je tache de faire diversion en repondant que j'ai satisfait abondamment à la question de Mr. Keil; pourquoi me l'a-t-il proposée, s'il ne vouloit souffrir que j'y repondisse? c'est apparemment qu'il avoit esperé, que je ne trouverois point de solution, et que cela lui donneroit matiere de triompher de mon impuissance, quoique ni lui ni d'autres de ses compatriottes n'eussent point trouvé eux memes de solutions. C'est ainsi que je serai toujours dans la presse quoique je fasse, si je resous leurs problemes ce sera faire diversion, si je ne les resous pas, ce sera pour eux matiere de triompher: c'est pourquoi le meilleur expedient est que je Vous prie de leur dire, que je declare une bonne fois, que je ne serai plus imitateur de Mr. Leibnits mais que desormais j'imiterai Mr. Newton, en ce que je garderai le silence quoi que Keil et ses semblables puissent dire de moi et quelques problemes qu'ils proposent, à moins qu'ils aient le courage d'accepter un pari tel que j'offre à Mr. Taylor. Je suis toujours avec ardeur Monsieur V. T. H. E. T. O. S. J. Bernoulli.

Problema

Construere curvam (concessis quadraturis) quam corpus uniformiter grave tendens perpendiculariter ad horizontem describit in medio uniformiter denso: supposita resistentia in quacunque multiplicata ratione velocitatis, cujus exponens sit 2n.

Constructio. Assumta indeterminata $z$, construatur area $\int {\overline {aa+zz}}^{n-{\frac {1}{2}}}\times dz$, quae vocetur $Z$: sint autem coordinatae curvae quaesitae $x$ et $y$. Fiat $x=\int {\overline {zdz\times Z^{-{\frac {1}{n}}}}}$ et $y=\int adz\times Z^{-{\frac {1}{n}}}$. Dico curvam quae inde oritur esse quaesitam. Q. E. F.

Coroll. 1. In casu particulari (quem Keilius mihi proposuit) ubi supponitur resistentia in duplicata ratione velocitatis, erit $n=1$: In hoc itaque casu habebimus $Z=\int dz{\sqrt {aa+zz}}$ quod dependet a quadratura hyperbolae: Coordinatas autem $x=\int {\frac {zdz}{Z}}$, et $y=\int {\frac {adz}{Z}}$. Huic constructioni pro hoc casu particulari consimilem fere quamvis non tam simplicem constructionem dedit Hermannus in Phoron. p. 354.

Coroll. 2. Quotiescunque $2n$ est numerus impar unitate major, curva quaesita erit transcendens communis seu primi gradus, nam quia tunc ${\overline {aa+zz}}^{n-{\frac {1}{2}}}$ habetur in terminis simplicibus et numero finitis ex meris potestatibus ipsius $z$, dabitur algebraice ipsum $Z$; ipsae vero $x$ et $y$ dabuntur per quadraturas curvarum algebraicarum.

Coroll. 3. Quotiescunque $2n$ est numerus impar negativus dabitur $Z$ per quadraturam circuli.

Coroll. 4. Quotiescunque $n$ est numerus integer negativus, dabitur algebraice ipsum $Z$. Et quidem in specie si $n=-1$ erit $Z={\frac {z}{\sqrt {aa+zz}}}$; atque tunc etiam $y$ dabitur algebraice, sed $x$ dependet a quadratura hyperbolae.

Coroll. 5. Quod si vero $2n=1$, hoc est, si resistentia sit in simplici ratione velocitatis, qui casus omnium est simplicissimus; Erit curva quaesita expressa per hanc aequationem $x=la-ly+{\frac {by}{a}}$, vel sumta $a$ pro unitate $x=by-ly$; quae indicat curvam quaesitam posse esse logarithmicam vulgarem, existente nimirum $b=0$, aliis vero in casibus facillime ex ipsa logarithmica construendam, et quidem hunc in modum:[Figur folgt] Ad axem verticalem $DE$ descripta sit logarithmica $ABC$ ex cujus singulis punctis $B$ ducantur $BE$ quae faciant angulos $BED$ dato aequales: atque ad punctum $E$ agantur ad axem perpendiculares $EF$ ipsis $BE$ aequales. Puncta $F$ formabunt curvam quaesitam $GFF$.

Haec constructio facilior est et simplicior quam Hugeniana exposita in libro De causa gravitatis p. 171 et multo adhuc simplicior quam Newtoniana, Princip. Phil. Lib. II, Prop. 4, quae est valde perplexa et difficilis, neutiquam ostendens curvam quaesitam esse posse logarithmicam aut ex ea posse construi. Quam et ubi dederit constructionem Wallisius vellem mihi locus indicaretur.

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Fussnoten

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