Bernoulli, Johann I an Fontenelle, Bernard le Bouyer [Bovier] de (1725.07.22)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Fontenelle, Bernard le Bovier de, 1657-1757
Ort	Basel
Datum	1725.07.22
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 658, Nr.4
Fussnote	Am Briefkopf autograph "à Mr. de [Mairan (gestrichen)] Fontenelle". PS autograph

Monsieur

Un peu plus de loisir et moins de fatigue ne m'auroit pas fait differer la reponse que je Vous dois sur l'honneur de Votre derniere lettre du 7.^e Juin: Mais sans faire l'important, j'ose dire que mes occupations me tueront, si je n'en suis delivré au bout d'un an, elles ne sont pas d'aussi grande importance que Vous pensez; quoiqu'elles le soient un peu pour notre petite Republique; On veut reformer notre College public et on m'en a confié le soin et l'inspection qui doit durer une année entiere, jugez si c'est un travail agreable pour moy et compatible avec les mathematiques qui demandent l'Esprit tranquil et exemt de distraction. Voyez donc Monsieur si je suis en etat de pouvoir Vous satisfaire sur toutes les instances, que Vous me faites apres ce que j'ai eu l'honneur de Vous dire dans ma precedente sur les infinis et les infiniment petits! Il est vray que par honneteté Vous voulez bien me dispenser de l'obligation, dans la quelle je suis de lever Vos difficultez, mais j'aurois tort de me servir de cette dispense; si je ne suis pas capable de lever Vos difficultez, Vous serez au moins convaincu que je n'ai pas voulu Vous laisser sans ma reponse.

Vous dites Monsieur que je Vous ai donné moins de gout que jamais pour l'impression, ce langage me desole, faut il que je sois la cause que le monde savant demeure privé pour toujours d'un ouvrage aprés lequel il soupire depuis si longtems? en me demandant mon sentiment sur Vos paradoxes Vous ne m'avez pas averti que de mon approbation dependroit la publication de tout l'ouvrage, car autrement j'aurois donné téte baissée dans Vos pensées, quelques extraordinaires qu'elles m'ayent parû, plutôt que de Vous detourner de l'impression. Rassurez Vous donc Monsieur je veux me retracter de tout ce que j'ai dit dans ma precedente au prejudice de Vos idées sur les infinis et les infiniment petits, considerez mes raisonnements comme faux, je ne m'y opposerai pas, donnez nous seulement Votre ouvrage. Ce ne sont pas des objections que je Vous ai faites, ce sont de simples speculations, que je Vous permets de refuter publiquement, Vous promettant que je n'y repliqueray pas; C'est encor sur ce pied que je Vous prie de prendre les remarques, que je vai faire sur quelques endroits de Votre lettre, les voicy.

Si nous nous entendions bien l'un l'autre sur l'idée que chacun de nous a du fini, de l'infini et de l'infiniment petit, je croi qu'il n'y auroit point de dispute entre nous: en effet, j'ai bien peur que ce ne soit une dispute de mots. Vous etes dites vous tres persuadé de ce que j'ai dit sur les rapports du fini, de l'infini et de l'infiniment petit; Je Vous accorde Monsieur reciproquement ce que Vous ajoutez, qu'il faut fixer un terme d'où tous ces rapports partent; mais il me paroit que ce terme est toujours arbitraire, meme celui que Vous fixéz que Vous croyez n'etre pas arbitraire, c'est le fini que Vous entendez dans le sens que tout le monde l'entend; Mais ce fini que tout le monde prend pour fini est il pour cela absolument fini? est il fini de sa nature? en verité je n'en voi aucune raison; les habitans de notre monde prennent un pied cubique par Exemple pour une grandeur finie, parceque toute cette grandeur tombe sous leurs sens, ils en voyent les bornes, elle est proportionnée à leurs corps, ils la manient, en un mot ils comprenent toute son etendue. Mais supposés s'il vous plait qu'un grain de sable soit formé comme la terre, qu'il y ait des montagnes, des forets, des champs, des mers, des rivieres, enfin tout ce qu'il y a dans notre Terre, par consequent aussi des animaux et des creatures raisonnables, le tout en racourci, que savons nous si en effet la moindre poussiere n'est pas un monde entier, pour moi je suis fort enclin à croire, qu'il n'y a aucune partie dans l'univers, qui ne soit organisée, ou qui ne soit un monde avec autant de symetrie entre les parties qui le composent, qu'est le notre que nous appellons le monde aspectable; il semble que la Toutepuissance et la Sagesse du Createur ait voulu que rien dans l'Univers ne soit resté inculte ou sterile comme seroit une matiere partout uniforme, ainsi selon moi les atomes et les vuides dispersés ne sont que des chymeres. Ah Monsieur si Vous pouviez me preter votre plume et votre Eloquence, je ferois à l'imitiation de Votre Excellent et inimitable Traité sur la pluralité des mondes un autre sur l'infinité des mondes compris les uns dans les autres. Quoiqu'il en soit je ne veux pas que Vous croyiez cette infinité, ni qu'effectivement chaque parcelle de la matiere soit un monde; il me suffit pour notre sujet que Vous m'en accordiez la possibilité, car Vous n'en pourez pas disconvenir, si Vous admettez la Divisibilité de la matiere à l'infini. Revenons donc à la supposition d'un grain de sable formé comme la Terre, supposés y des habitan[ts] proportionnez, je veux dire, qui ayent des corps en mesme raison plus petit que les nostres, que leur Terre est plus petite que la nostre; he bien ces petites creatures intelligentes, envisageront elles le pied cubique ou tel autre terme que Vous voudrés fixer, enfin ce Fini pris dans le sens que tout le monde le prend comme une grandeur finie? ce pied cubique, ce fini ou ce terme fixé ne sera-t-il pas un veritable infini à ces habitans de grain de sable qui sont des infiniment petits, par rapport à nous autres Terricoles? Ainsi tout terme fixé par nous est purement arbitraire, n'y ayant point de raison, pourquoy à le considerer en Lui meme, il seroit plutot fini qu'infiniment grand. Je pourrois prouver par un semblable raisonnement, que ce meme pied cubique ou ce terme fixé, qui est un fini par rapport à nous et un infini par rapport aux habitans du grain de sable, ne sera qu'un infiniment petit dans les yeux de ceux, que nous pourrons supposer avoir des corps infinis, en comparaison des notres; Car qu'est ce qui empeche de croire ou au moins de supposer une Terre dont la nostre n'est qu'un grain de sable et des habitans dessus d'une grandeur proportionnée. Peut on donc fixer un terme, qui soit independemment de Tout Rapport, fini absolument, fini enfin de sa nature? Il est vrai que 1 est le premier et le moindre des nombres finis entiers, mais prenez garde Mr. que les nombres pris in abstracto n'ayant aucune realité, ne sont ni grands ni petits; pendant qu'on ne les applique pas à une meme chose on ne peut pas dire que l'un soit plus ou moins grand que l'autre; il est vrai, par exemple que la longueur de 2 pieds est plus petite qu'une autre de trois pieds, mais il n'est pas vrai qu'une ligne de 2 toises soit plus petite qu'une ligne de trois pieds. Une infinité d'unitez dites Vous est une infinité du premier ordre, je l'accorde, de meme que la liberté de l'exprimer par $\infty$, car cela est libre; mais cette meme liberté fait que je puis considerer une infinité d'unités comme un infini d'un ordre quelconque exprimé par $\infty ^{n}$, Vous ayant deja fait voir dans ma precedente que les differents ordres ou degrés d'infinités ne consistent que dans une relation, qui n'a point d'autre fondement hors de notre Esprit, et qu'entre deux ordres les plus proches d'infinités je puis concevoir une infinité d'ordres moyens. Ainsy le meme $\infty$ peut etre consideré comme $\infty ^{2}$ ou $\infty ^{3}$ ou $\infty ^{4}$ etc. selon les differents rapports que j'en fai avec differens termes. A parler à la rigueur on ne peut pas dire que le $\infty$ soit le dernier terme de la Suite naturelle 0, 1, 2, 3, 4, etc. car pouvant être continuée sans fin elle n'a point de dernier terme; il est vray, qu'on peut concevoir un terme comme infiniment eloigné du commencement de la Suite, mais il ne sera pas pour cela le dernier, puisqu'il y a toujours une infinité d'autres termes qui suivent apres le $\infty$ lesquels seront $\infty +1$, $\infty +2$, $\infty +3$ .... $\infty ^{2}$, $\infty ^{2}+1$ ... etc. Je ne me souviens pas que j'aye donné à Mr. Varignon comme une chose nouvelle la formule ${\frac {\infty ^{2}}{2}}$ pour la somme de la Suite $0+1+2+3+4\ldots \infty$ car il y a longtems que l'on sait que la Somme de cette progression arithmetique $0+1+2+3+4\ldots n$ s'exprime par cette formule ${\frac {nn+n}{2}}$, donc si $n$ est infini ou $\infty$, on a $nn$ infiniment plus grand que $n$ car $nn.n::n.1$ donc $n$ s'evanouit auprés de $nn$, donc ${\frac {nn+n}{2}}={\frac {nn}{2}}={\frac {\infty ^{2}}{2}}$; c'est ainsi que Wallis a prouvé dans son Arithmetica infinitorum que l'aire du Triangle est la moitié du Parallelogramme circonscript, considerant le triangle comme composé d'une infinité de petits parallelogrammes paralleles à la Base qui vont en progression arithmethique 0, 1, 2, 3 ...$\infty$ dans la quelle le $\infty$ est bien le dernier terme puisqu'il signifie le dernier petit parallelogramme contigu à la Base, il est le dernier dans le triangle proposé, mais non pas absolument le dernier, d'autant que ce meme triangle peut étre continué en prolongeant les cotez au dela de la Base tant qu'on veut et tirant ensuite une nouvelle Base parallele à la premiere.

Je Vous avoue Monsieur que la Somme de $A$ (dans Votre premiere Lettre) est infinie par rapport à l'unité ou à un autre nombre determiné, je Vous avoue aussi que la meme somme de $A$ est beaucoup moindre (je dis plus, elle est infiniment moindre) que celle d'un meme nombre infini d'unitez, mais il ne s'en suit pas qu'elle soit necessairement du 1.^er ordre d'infini, selon mon idée de l'infini.

Quoiqu'il soit vray que la Somme de $A^{2}$ est infiniment petite par rapport à la Somme de $A$ il me semble qu'on a tort de faire cette conclusion donc la Somme de $A^{2}$ est finie, car si je ne savois d'ailleurs qu'elle est finie, je pourrois douter si elle n'est pas infinie quoique infiniment plus petite que la Somme de $A$, ayant deja fait voir qu'entre le fini et l'infini on peut concevoir une infinité d'ordres d'infini. J'ai dit dans ma premiere Lettre que la Suite de $A^{2}$ contient une infinité de termes finis; Vous combattez cette assertion "Il est impossible", dites Vous, "qu'une infinité de termes finis, quelques decroissants qu'ils soyent ne fassent qu'une Somme finie, car soit le dernier de ces termes ${\frac {1}{m}}$, $m$ etant un nombre fini, si grand que vous voudrez si on suppose tous ces termes egaux à ${\frac {1}{m}}$, le moindre de tous dans la Suite proposée la Somme de la nouvelle Suite sera à celle des unités $::{\frac {\infty }{m}}.\infty ::1.m$ or tout ce qui a un rapport de fini à l'infini est infini aussi, et du meme ordre, quoi qu'il puisse étre moindre en telle raison qu'on voudra".

Je dois avouer que cette objection m'embarasse, non que je croye que Votre raisonnement soit sans replique, car il me paroit etre, si j'ose le dire, un Sophisme à peu prés semblable à celui de Zenon par lequel il pretendoit prouver, qu'il n'y avoit point de mouvement dans le monde, mais parceque je me sens en peine de Vous en bien expliquer le noeud; Il me sera cependant facile Monsieur de Vous montrer le foible de cette sorte de raisonnements, par la voie de retorsion, voici comment; le nombre des termes finis de la Suite naturelle 1, 2, 3, 4 ... etc. continuée à l'infini, est il fini ou est il infini? Vous me direz dans doute qu'il est infini, car s'il etoit fini, le dernier et plus grand terme (que je veux nommer $n$) seroit aussi fini puisqu'il est egal au nombre des termes; Or un nombre fini quelque grand qu'il soit, etant augmenté d'une unité demeure encor fini donc $n+1$ c'est à dire le terme suivant est fini aussi, donc le nombre $n$ ne comprend pas tous les nombres finis de la Suite naturelle donc le nombre de tous les termes finis n'est pas fini, donc il sera infini; mais il ne sauroit étre infini non plus que fini, en voici la raison; le nombre des termes depuis l'unité ou le commencement de la Suite naturelle etant toujours egal au dernier et plus grand terme, il est evident que le nombre des termes etant supposé infini le dernier terme $n$ sera aussi infini; mais il est par l'hypothese fini, donc le nombre des termes n'est pas infini[;] ainsi il n'est ni fini ni infini, ou bien il est en meme tems fini et infini, ce qui est une contradiction manifeste. Pour sauver cette contradiction, il faut distinguer entre l'infini actuel et l'infini progressif, j'entens par l'infini actuel un infini qu'on conçoit comme existant réellement, au lieu qu'un progressif marque seulement un fini augmentable à l'infini, sans arriver jamais à l'infini actuel; c'est ce qu'on appelle dans l'Ecole Terminus ad quem non. Par cette distinction la reponse à votre raisonnement est toute prete; car quand Vous dites qu'il est impossible, qu'une infinité de termes finis ne fassent qu'une somme finie, je Vous nie nettement cette impossibilité dans le sens de l'infinité progressive comme on doit ici l'entendre, je croi qu'il faut faire la meme distinction entre l'infiniment petit actuel qui existe et l'infiniment petit progressif au quel on ne parvient jamais dans les progressions. Je ne sai Monsieur si vos finis indeterminables ne sont pas la meme chose que mes infinis progressifs, ou mes infiniment petits progressifs; je vous prie d'y faire reflexion, Vous trouverez peutetre qu'au fond nous serons d'accord: Dans les Suites des nombres qui commencent par des finis et ne finissent jamais il n'y a en effet point d'autres infinis ou infiniment petits que des progressifs; Je n'ai pas dit que la Progression Geometrique ${\frac {1}{1}}$, ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{4}}$, ${\frac {1}{8}}$ ... ${\frac {1}{\infty }}$ ou comme Vous l'exprimez ${\frac {1}{2^{0}}}$, ${\frac {1}{2^{1}}}$, ${\frac {1}{2^{2}}}$, ${\frac {1}{2^{3}}}$ ... ${\frac {1}{2^{\infty }}}$ est toute composée de moitiés de termes finis; mais mon but etoit de dire, qu'elle a un nombre infini de termes finis quoiqu'elle meme finie; Remarqués que j'entendois ici un infini progressif, que l'on n'atteint jamais. Car il est visible que quelque grand que l'on prenne dans cette progression le nombre des termes finis, on pourra toujours le prendre encore plus grand; donc le nombre de tous les termes finis n'est pas limité, il excede tout nombre donné quelque grand qu'il soit, dato quolibet numero est major et nunquam attingitur, c'est donc un infini progressif; il faut dire la meme chose de toute autre Suite decroissante à l'infini, soit que la Somme soit finie ou infinie, savoir qu'elle a toujours un nombre infini progressif de termes finis, non obstant la verité de ce que Vous dites qu'une infinité (actuelle) de termes finis egaux, quelques petits qu'ils soient, sont toujours une Somme infinie (actuelle).

Vous voyez donc Monsieur de tout ceci qu'en prennant le mot d'infini dans le sens que je viens de lui attacher, il est fort naturel qu'une infinité de termes finis peut faire une somme finie, car ce nombre infini des termes n'est pas actuel, il est seulement progressif ou plus grand qu'aucun nombre donné quelque grand qu'il soit.

Il est vray que j'ai fait passer la Suite naturelle de $\infty$ à $\infty ^{2}$ par $\infty +1$, $\infty +2$, $\infty +3$ .... $\infty ^{2}$ le passage d'un infini à un infini superieur se faisant ici par l'addition de 1 repetée une infinité de fois me paroit fort concevable, mais que le passage du fini à l'infini ou de l'infini à un fini superieur se fasse par la seule addition de 1 (faite une seule fois) c'est ce qui me paroit inconcevable, que $m$ étant un nombre fini, on puisse dire que $m+1$ soit un nombre infini. Terminer la Suite naturelle par $\infty$, c'est la terminer nulle part car j'ai deja dit que l'idée de l'infini n'etant que relative, le $\infty$ peut signifier tel infini qu'on voudra, qui ne laissera pas d'avoir par la meme relation des infinis superieurs de tous les degrés possibles.

Je m'arrete ici Monsieur de peur de Vous oter entierement le gout de l'impression de Votre ouvrage ce qui me causeroit je Vous proteste un remord de conscience, pour avoir contribué à priver le public d'un Thresor inestimable. Ainsi je Vous prie encor une fois de considerer mes remarques comme non faites ou plutot comme de nulle valeur; Refusez les dans votre Ouvrage, vous verrez que je me tairai, trop content si je puis faire un petit sacrifice pour le bien public.

Puisque c'est à Vous, Monsieur, que nous sommes redevables des 3 beaux presents de la Mechanique de Mr. Varignon, agréés nos humbles remercimens que j'avois adressé dans ma precedente à notre Donateur. Mon Neveu Nicolas à qui j'ai donné l'un des 3 Exemplaires, m'a assuré qu'il s'est donné l'honneur de Vous ecrire une Lettre de remerciment. Mon fils Daniel, qui a pris l'autre Exemplaire, Vous en est infiniment obligé; C'est pousser trop loin votre Generosité que d'offrir un quatrieme Exemplaire à mon fils ainé (Nicolas) Professeur à Berne, s'il veut lire cet Ouvrage il pourra se servir du mien ou de celui de son frere, en sorte, qu'il se gardera bien d'etre si temeraire pour abuser de Votre Beneficence. Je suis ravi Monsieur de voir que ma proposition Generale sur les Energies a eu le bonheur de vous plaire; on l'applique tres commodement aux cas les plus compliquez de la mechanique, c'est veritablement un abregé de toute cette vaste science.

L'addition à mon Discours In magnis voluisse sat est est achevée, je l'enverrai encor cette semaine à Mr. de Mairan sous une enveloppe adressée à Mr. le Comte d'Onsembrai. Il Vous la remettra quand il l'aura lüe; Je l'ai fait transcrire par une main inconnue, afin que Mssrs les Juges ne puissent pas connoitre l'Auteur conformement à l'intention de l'Academie.

Je ne sai s'il m'en faudra avoir un Recepissé, en cas qu'il en soit besoin Vous aurez la bonté de me l'envoyer. Je suis avec la plus parfaite estime pour Votre grand merite Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur J. Bernoulli

Bale ce 22. Juillet 1725.

Sur l'avis que Vous m'avez donné de ce que Mr. de Mairan a reçu les 2000 lb pour mon fils, celuici a tiré une lettre de change sur Mr. de Mairan, payable entre le 20 et 30 Juin. Nous comptons que le payement aura été fait.

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Fussnoten

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