Bernoulli, Johann I an Frézier, Amédée François (1730.03.19)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Frézier, Amédée François, 1682-1773
Ort	Basel
Datum	1730.03.19
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 674:Bl.25, 27-28
Fussnote	Beim vorliegenden Text handelt es sich vermutlich nicht um einen Entwurf, sondern um eine Abschrift der nicht erhaltenen Abfertigung des Briefes. Der Text verweist nämlich in einem Satz auf die erste Figur als "au revers de cette page", obwohl sich eine Skizze der Figur wenige Zeilen darunter auf der gleichen Seite findet. Zudem enthält der Text eine Nachschrift, die sich so wohl nur auf einer Abfertigung finden kann. Der Text ist, was die Erläuterungen der mathematischen Überlegungen betrifft, ausserdem ausführlicher als eine zweite Textversion. Diese findet sich in einer eigenhändigen Reinschrift (mit 1 Figur) auf fo.26r/v zwischen fol.27 und 28 des vorliegenden Briefes. Diese Reinschrift bricht in der Mitte von fol. 26v mitten im Text der mathematischen Überlegungen ab. Ihr Text weicht durch verkürzte Darstellung und durch Substitution von mathematischen Termen durch Buchstaben stark vom ausführlicheren Text der Abschrift ab.

Monsieur

Sans un accés de la goutte, qui m'a tourmenté depuis plusieurs semaines et dont je ne suis pas encore quitte, je vous aurois répondu plûtôt à la lettre que vous m'avés fait l'honneur de m'écrire en date du 18. Janv.^[1] Vous me demandez la nature des Courbes qui resultent de la penetration des Cones, Sphéres et Cilindres pour toute situation de leurs axes entre eux. Ce probléme consideré ainsi en general est plus laborieux que difficile, le Calcul algebrique étant long et pénible outre les figures requises pour représenter l'inscription de quantité de lignes dans les solides, qui sont difficiles à tracer sur le papier, surtout à moi qui ai la main tremblante et peu sûre. Cependant le moyen le plus commode de determiner les sections de ces Corps ou de leurs surfaces, c'est d'en chercher les projections sur un plan donné et pris à volonté, tel que seroit par ex. la base du Cone ou celle du Cylindre, ou un des grands Cercles de la Sphére, en s'imaginant des perpendiculaires abaissées sur ce plan de chaque point de la section, lesquelles par leur rencontre avec le plan forment la Projection, dont il n'est pas difficile de connoitre la nature par une équation algebrique, que l'on trouve en égalant deux expressions de chacune de ces perpendiculaires en tant que chacune apartient à l'une et à l'autre des deux surfaces qui se coupent. Ayant ainsi determiné la Courbe de Projection et la hauteur pour chaque point, il est visible que l'on connoitra la nature de la section. Comme il vous sera facile d'en deviner le reste, je n'en dirai pas d'avantage. Mais quant à la question que Vous me faites touchant la section d'un Corps Cylindrique, dont l'axe est courbe (en forme de la Circonference de Cercle) qui seroit coupé par un plan qui ne seroit pas tangeant^[2] à la Courbe, je pourrai vous mieux contenter et m'exprimer plus facilement. Regardés la figure tracée au revers de cette page,^[3] quoique mal faite. [Figur folgt] ^[4] Soit le Corps Cylindrique $HDh$ fait par la revolution du petit cercle $GHI$ elevé perpendiculairement sur le plan du grand Cercle $IDi$ , dont le Centre $C$ autour duquel s'est fait la revolution du petit Cercle $GHI$ , soit coupé ce Corps par le plan $ALBO$ perpendiculaire sur le plan $IDi$ , dont la commune section soit $AB$ ; On demande donc la nature de la Courbe $ALBO$ , qui se fait sur la surface du d.^t Corps annulaire $HDh$ .

Par un point quelconque $N$ de la commune section $AB$ considerée comme l'axe de la Courbe $ALB$ soit tiré du Centre $C$ le rayon $CMK$ qui coupe en $M$ le Cercle concentrique $GFg$ , et sur sa portion $MK=GI=gi$ soit elevé un plan perpendiculaire sur le plan $IDi$ , lequel par sa section formera sur la surface du Corps cylindrique ou annulaire le Cercle $MLK$ , qui sera $=GHI$ , dont la commune Section avec le plan $ALBO$ sera $LO$ perpendiculaire en $N$ à $AB$ , axe de la Courbe cherchée $ALB$ . Soit donc $CI$ ou $Ci$ ou $CD$ (que je suppose tirée perpendiculairement à $AB$ ) $=a$ , le Diamêtre du petit Cercle $GI$ ou $gi$ ou $MK$ ou $FD=b$ , $AE=c$ ou $AB=2c$ ; l'abscisse $AN=x$ , l'ordonnée $NL$ ou $NO=y$ ; on aura par la nature du Cercle $CE={\sqrt {aa-cc}}$ , $EN=c-x$ . Donc $CN={\sqrt {aa-2cx+xx}}$ et $KN=a-{\sqrt {aa-2cx+xx}}$ , $MN=KM-KN=b-a+{\sqrt {aa-2cx+xx}}$ . Mais par la nature du Cercle le rectangle $KN\times MN=NL^{2}$ ; ainsi multipliant $KN$ par $MN$ et égalant le produit à $yy$ on trouvera $ab-2aa+2cx-xx+{\overline {2a-b}}{\sqrt {aa-2cx+xx}}=yy$ . Pour abreger la reduction soit nommé $2a-b=e=Ig$ ou $iG$ , ce qui étant substitué on aura cette autre Equation $-ae+2cx-xx+e{\sqrt {aa-2cx+xx}}=yy$ ou bien en transposant pour mettre tous les rationels d'un coté $xx-2cx+ae+yy=e{\sqrt {aa-2cx+xx}}$ ; pour en oter l'asymetrie il faut quarrer les deux membres de l'equation ce qui donnera $x^{4}-4cx^{3}+2aexx+2yyxx+4ccxx-4acex-4cyyx+2aeyy+y^{4}=-2ceex+cexx$ ; Reduisés cette Equation à $0$ selon l'ordre des dimensions de $x$ comme c'est la coutume, vous aurés ${\begin{array}{ccccccc}x^{4}&-4cx^{3}&+2aexx&-4acex&+y^{4}&=&0\\&&-ce&+2cee&+2eeyy\\&&+4cc&-4cyy\\&&+2yy\end{array}}$ . C'est donc cette Equation qui exprime la nature de la Courbe $ALB$ ; il ne paroit pas qu'elle puisse étre rendue plus simple, dans son état de generalité; ainsi c'est une Courbe du 4.^e ordre, parce que les Coordonnées $x$ et $y$ montent à la 4.^e dimension. Mais il y a des cas particuliers, où elle devient plus simple; Par ex. si la section $AB$ passe par le centre $C$ il est visible que la courbe $ALB$ se partage en deux cercles $ihg$ et $IHG$ , dont l'Equation est ${\begin{array}{ccccc}xx&+ex&+yy&=&0\\&-2a\end{array}}$ ; Aussi dans ce cas notre Equation trouvée se laisse-t-elle diviser par ce diviseur ${\begin{array}{ccc}xx&-2ax&+2aa\\&-e&+yy\end{array}}$ , et le quotient donnera la d.^e Equation ${\begin{array}{ccccc}xx&+ex&+yy&=&0\\&-2a\end{array}}$ pour le cercle $ihg$ ou $IHG$ ; comme il doit arriver, si on prend $IG=$ à tout le grand diametre $Ii$ c. à. d. si $Ig$ ou $e=0$ , auquel cas le Corps annulaire $HDh$ devient une sphère ensorte que la Courbe de la Section $ALB$ en sera un cercle mineur, nôtre Equation le doit marquer; en effet si vous omettés les termes où se trouve la lettre $e$ puisque $e=0$ , l'Equation generale se change en celleci ${\begin{array}{ccccccc}x^{4}&-4cx^{3}&+4ccxx&-4cyyx&+y^{4}&=&0\\&&+2yy\end{array}}$ .

Dont on peut tirer la racine quarrée, qui est $xx-2cx+yy=0$ ; Or il est clair que cette Equation particulière est pour un Cercle dont le diamétre $=2c=AB$ , marque evidente que la section $ALB$ degenère en Cercle. Je crois que ce sont là tous les cas possibles où la Courbe en question puisse devenir d'un ordre inferieur que du quatrième. Mais pour ce qui est de votre Corps cylindrique lorsqu'il n'a pas son axe courbe dans un plan, mais qu'il soit courbe en helice ou en spirale, la courbe qui provient de la section n'est pas d'un autre espéce contre ce que Vous croyés. Toute la difference qu'il y a consiste en ce que l'axe de la courbe $AB$ est ici allongé et les ordonnées font un angle oblique avec cet axe. En voici la Construction. Soit $ALB$ la Courbe de la premiere question, [Figur folgt]^[5] faites sur la base $AB$ le triangle rectangle $BAa$ , dont l'angle $ABa$ soit egal à l'angle de la pente que font les helices avec l'horizon, Vous aurés l'hypotenuse $aB$ d'une nouvelle Courbe $alB$ , que vous decrirés en prolongeant l'ordonnée $LN$ jusqu'en $l$ , de sorte que $nl$ soit $=NL$ , et faisant cela de toutes les autres ordonnées perpendiculaires $NL$ pour en avoir autant d'autres obliques et respectivement egales à $NL$ ; les points $l$ seront sur la Courbe $alB$ que Vous cherchez; La demonstration Vous paroitra evidente, pour peu que Vous y prétiés d'attention.

Je finis en Vous assûrant que je suis avec beaucoup d'estime Mr. etc. J. Bernoulli.

Puisque Vous souhaités mes remarques sur V.^e Voyage trés curieux, que j'ai lû avec beaucoup de plaisir, les voici telles que je les ai notées pour mon contentement particulier.^[6] Mr. de Maupertuis de l'acad. R. des Sc., qui m'a dit Vous connoitre particuliérement,^[7] Vous fait bien ses Compliments. Il est ici depuis prés de 6 mois pour s'entretenir avec moi sur les Mathematiques, ce qui me donne occasion de me perfectionner dans ces sciences. Il souhaiteroit avec moi de Vous voir ici avant son depart.

Monsieur^[8]

Sans un accés de la goute qui m'a pris depuis plusieurs semaines et dont je ne suis pas encore quitte, je Vous aurois repondu plutot à la lettre que Vous m'avés fait l'honneur de m'ecrire en date du 18 Janvier. Vous me demandés la Nature des Courbes qui resultent de la penetration des Cones, Sphéres, et Cylindres pour toute situation de leurs axes entre eux: Le probleme consideré ainsi en general est plus laborieux que difficile, le calcul algebrique en étant long et penible, outre les figures pour représenter l'inscription de quantité de lignes dans les solides, qui sont difficiles à tracer sur le papier, sur tout à moi qui ai la main tremblante et peu seure. Cependant le moyen le plus commode de determiner les sections de ces Corps ou de leurs surfaces est d'en chercher les Projections sur un plan donné et pris à volonté, tel que seroit par ex. la Base du Cone ou celle du Cylindre, ou un des grands cercles de la Sphére, en s'imaginant des perpendiculaires abaissées sur ce Plan de chaque point de la Section, lesquelles par leurs rencontres avec le Plan formeront la Projection dont il n'est pas difficile de connoitre la Nature par une equation algebrique, que l'on trouve en egalant deux expressions de chacune de ces perpendiculaires, entant que chacune appartient à l'une et l'autre des deux surfaces qui se coupent. Ayant ainsi determiné la Courbe de Projection de la perpendiculaire pour chaque point, il est visible que l'on connoitra la Nature de la Section. Comme il Vous sera facile d'en deviner le reste, je n'en dirai pas davantage; mais quant à la question que Vous me faites touchant la Section d'un Corps cylindrique dont l'axe est courbe (en forme de cercle) qui seroit coupé par un plan qui ne seroit pas tangeant à la Courbe, je pourrai, pour Vous contenter, m'exprimer plus facilement; regardés la figure ci jointe quoique mal faite:[Figur folgt]^[9]

Soit le corps cylindrique $HDh$ fait par la revolution du petit cercle $GHI$ perpendiculaire au plan du cercle $IDi$ au tour du centre $C$ . Que ce corps soit coupé par le plan $ALBO$ perpendiculaire au plan $IDi$ , dont la commune section soit $AB$ ; on demande la nature de la Courbe $ALBO$ , qui se fait sur la surface du corps cylindrique $HDh$ .

Par un point quelconque $N$ de la commune section $AB$ soit tiré du centre $C$ le rayon $CMK$ , et sur sa portion $MK=GI=gi$ soit elevé un plan perpendiculaire sur le plan $IDi$ , lequel par sa section formera sur la surface du corps cylindrique le cercle $MLK=GHI$ , dont la commune section avec le plan $ALBO$ sera $LO$ perpendiculaire en $N$ à $AB$ axe de la courbe cherchée $AB$ . Soit donc $CI$ ou $Ci$ ou $CD$ (que je suppose perpendiculaire sur $Ii$ ) $=a$ , le diametre du petit cercle $GI$ ou $gi$ ou $FD$ ou $MK=b$ , $CE$ ou la distance de la corde $AB$ au centre $C$ , $=c$ ; L'abscisse $AN=x$ , l'ordonnée $NL$ ou $NO=y$ . On aura par la nature du Cercle $AE={\sqrt {aa-cc}}$ ; $EN={\sqrt {aa-cc}}-x$ ; Donc $CN={\sqrt {xx+aa-2x{\sqrt {aa-cc}}}}$ , et $KN=KC-NC=a-{\sqrt {xx+aa-2x{\sqrt {aa-cc}}}}$ , $MN=KM-KN=b-a+{\sqrt {xx+aa-2x{\sqrt {aa-cc}}}}$ . Or par la nature du cercle le rectangle $KN\times MN=NL^{2}$ ; ainsi multipliant $KN$ par $MN$ , et égalant le produit à $yy$ , on trouvera $ab-2aa-xx+2x{\sqrt {aa-cc}}+{\overline {2a-b}}{\sqrt {xx+aa-2x{\sqrt {aa-cc}}}}=yy$ :^[10] Pour abreger la reduction soit nommé $aa-cc=mm$ et $2a-b=n$ , ce qui étant substitué on aura cette autre equation $-an-xx+2mx+n{\sqrt {xx+aa-2mx}}=yy$ , ou transposant, ${\overline {2a-b}}{\sqrt {xx+mm-2mx}}=yy+xx-2mx-nn$ ; Pour la rendre rationelle, il faut quarrer les deux membres de l'equation, ce qui donnera, aprés avoir mis pour $2a-b$ son egal ${\frac {cc-nn}{a}}$ , ^[11]

Fussnoten

↑ Dieser Brief ist nicht vorhanden
↑ Im Manuskript steht "tangent"
↑ Die Figur findet sich in diesem Manuskript allerdings wenige Zeilen später auf der gleichen Seite 2 des Briefes
↑ [Link folgt]
↑ [Link folgt]
↑ Ein autographer Text mit Bemerkungen Johann I Bernoullis zu Fréziers Réponse findet sich als loses Blatt im Band UB Basel Bot 935:1/2. Dieser Band enthält als Nr. 1 Fréziers Relation du Voyage, Paris 1716, und als Nr. 2 Freziers Réponse, Paris 1727. Er weist zudem die von Johann I Bernoulli vermerkten Wasserschäden sowie die falsch nummerierte Tafel 30 (mit handschriftlicher Korrektur der Nummer) auf (vgl. Johann I Bernoulli an Frezier 1729 07 17). Es handelt sich also um das von Johann I Bernoulli im Brief von 1729 07 17 erwähnte Exemplar, in das er die beiden ihm von Frezier übersandten Publikationen binden liess. Der Text auf dem eingelegten losen Blatt ist offensichtlich die Vorlage für die mit vorliegendem Brief an Frezier gesandten Bemerkungen zu dessen Buch.
↑ Frézier weilte nach 1707 und nach 1716 in Saint Malo, wo er wahrscheinlich mit der Familie Maupertuis bekannt wurde
↑ Hier folgt eine zweite Version des vorstehenden Textes. Es handelt sich um das Fragment einer eigenhändigen Reinschrift, das sich heute zwischen den Blättern des Manuskripts des oben wiedergegebenen Brieftextes befindet. Für weitere Informationen siehe die Metadaten.
↑ [Link folgt]
↑ In den vorhergehenden Formeln sind an einigen Stellen die Terme " $cc$ " gestrichen. Diese gestrichenen Terme wurden hier weggelassen
↑ Hier bricht der Entwurf ab

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[1] Dieser Brief ist nicht vorhanden

[2] Im Manuskript steht "tangent"

[3] Die Figur findet sich in diesem Manuskript allerdings wenige Zeilen später auf der gleichen Seite 2 des Briefes

[4] [Link folgt]

[5] [Link folgt]

[6] Ein autographer Text mit Bemerkungen Johann I Bernoullis zu Fréziers Réponse findet sich als loses Blatt im Band UB Basel Bot 935:1/2. Dieser Band enthält als Nr. 1 Fréziers Relation du Voyage, Paris 1716, und als Nr. 2 Freziers Réponse, Paris 1727. Er weist zudem die von Johann I Bernoulli vermerkten Wasserschäden sowie die falsch nummerierte Tafel 30 (mit handschriftlicher Korrektur der Nummer) auf (vgl. Johann I Bernoulli an Frezier 1729 07 17). Es handelt sich also um das von Johann I Bernoulli im Brief von 1729 07 17 erwähnte Exemplar, in das er die beiden ihm von Frezier übersandten Publikationen binden liess. Der Text auf dem eingelegten losen Blatt ist offensichtlich die Vorlage für die mit vorliegendem Brief an Frezier gesandten Bemerkungen zu dessen Buch.

[7] Frézier weilte nach 1707 und nach 1716 in Saint Malo, wo er wahrscheinlich mit der Familie Maupertuis bekannt wurde

[8] Hier folgt eine zweite Version des vorstehenden Textes. Es handelt sich um das Fragment einer eigenhändigen Reinschrift, das sich heute zwischen den Blättern des Manuskripts des oben wiedergegebenen Brieftextes befindet. Für weitere Informationen siehe die Metadaten.

[9] [Link folgt]

[10] In den vorhergehenden Formeln sind an einigen Stellen die Terme " $cc$ " gestrichen. Diese gestrichenen Terme wurden hier weggelassen

[11] Hier bricht der Entwurf ab

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Bernoulli, Johann I an Frézier, Amédée François (1730.03.19)

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